等比数列

等比数列の一般項の公式 $a_n = a_1 r^{n-1}$ に、$a_1=2$、$r=3$ を代入します。

$a_n = 2 \times 3^{\,n-1}$

これが一般項です。第6項を求めるには、$n=6$ を代入します。

$a_6 = 2 \times 3^{\,6-1} = 2 \times 3^5$

$3^5$ を計算します。$3^2=9$、$3^3=27$、$3^4=81$、$3^5=243$ です。

$a_6 = 2 \times 243 = 486$

したがって、一般項は $a_n = 2 \times 3^{\,n-1}$、第6項は $a_6 = 486$ です。

初項を $a_1$、公比を $r$ とおきます。一般項の公式 $a_n = a_1 r^{n-1}$ を使うと、第2項と第5項はそれぞれ次のように表せます。

第2項（$n=2$ を代入）:

$a_2 = a_1 r = 6 \quad \cdots ①$

第5項（$n=5$ を代入）:

$a_5 = a_1 r^4 = 48 \quad \cdots ②$

②を①で割ると、$a_1$ が消去できます。

$\frac{a_1 r^4}{a_1 r} = \frac{48}{6}$

左辺を約分します。

$r^3 = 8$

$r^3=8$ を満たす実数 $r$ は $r=2$ です（$2^3=8$ を確認できます）。

$r=2$ を①に代入します。

$a_1 \times 2 = 6$

$a_1 = 3$

したがって、初項は $a_1 = 3$、公比は $r = 2$ です。

念のため確認すると、$a_2 = 3 \times 2 = 6$、$a_5 = 3 \times 2^4 = 3 \times 16 = 48$ となり、どちらも問題文と一致します。

3つの数がこの順で等比数列をなすということは、真ん中の数 $x$ が両端の数 $x-1$ と $x+2$ の等比中項になっているということです。等比中項の関係式 $b^2 = ac$ を使うと、

$x^2 = (x-1)(x+2)$

右辺を展開します。$(x-1)(x+2) = x \times x + x \times 2 + (-1)\times x + (-1)\times 2$ を計算すると、

$(x-1)(x+2) = x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2$

したがって、方程式は次のようになります。

$x^2 = x^2 + x - 2$

両辺から $x^2$ を引きます。

$0 = x - 2$

$x = 2$

$x=2$ のとき、もとの3つの数は $x-1=1$、$x=2$、$x+2=4$ となります。これが本当に等比数列になっているか確認しましょう。公比を計算すると、$\dfrac{2}{1}=2$、$\dfrac{4}{2}=2$ となり、どちらも同じ公比 $2$ です。たしかに等比数列になっています。

また、等比数列の項は $0$ であってはいけない（公比が定義できなくなる）ので、$x-1 \neq 0$、$x \neq 0$ であることも確認しておくと安心です。$x=2$ のときはどの項も $0$ ではないので問題ありません。

したがって、$x = 2$ です。

3つの数を、真ん中の数を $a$、公比を $r$ として、$\dfrac{a}{r}, \ a, \ ar$ と表します。このように真ん中の数を基準にして表すと、自動的に公比 $r$ の等比数列になっているので、等比中項の考え方をさらに一歩進めた便利な方法です。

まず、積の条件を使います。

$\frac{a}{r}\times a\times ar=216$

左辺で $r$ と $\dfrac{1}{r}$ が打ち消し合い、

$a^3=216$

$216=6^3$ なので、

$a=6$

次に、和の条件を使います。

$\frac{a}{r}+a+ar=21$

$a=6$ を代入します。

$\frac{6}{r}+6+6r=21$

両辺から $6$ を引きます。

$\frac{6}{r}+6r=15$

両辺に $r$ をかけます（$r\neq0$）。

$6+6r^2=15r$

右辺を左辺に移項して整理します。

$6r^2-15r+6=0$

両辺を $3$ で割ります。

$2r^2-5r+2=0$

左辺を因数分解します。かけて $2\times2=4$、足して $-5$ になる2数を探すと $-1$ と $-4$ なので、

$2r^2-5r+2=(2r-1)(r-2)$

したがって、

$(2r-1)(r-2)=0$

これを解くと、$r=\dfrac{1}{2}$ または $r=2$ です。公比は $1$ より大きいという条件から、$r=2$ です。

したがって、3つの数は、

$\frac{a}{r}=\frac{6}{2}=3, \quad a=6, \quad ar=6\times2=12$

つまり $3, \ 6, \ 12$ です。

念のため確認すると、和は $3+6+12=21$、積は $3\times6\times12=216$ となり、どちらも問題文と一致します。

$a_n = 5 \times (-2)^{\,n-1}$

$a_5 = 5 \times (-2)^4 = 5 \times 16 = 80$

$a_1 r^2 = 12$、$a_1 r^5 = 96$ を辺々割ると $r^3 = 8$ より $r=2$。$a_1 \times 4 = 12$ より $a_1 = 3$。

$x^2 = 2 \times 18 = 36$ より $x = \pm 6$。

一般項は $a_n=4\times3^{\,n-1}$。$4\times3^{\,n-1}=108$ より $3^{\,n-1}=27=3^3$ なので $n-1=3$、$n=4$。したがって、第4項です。