特定の角の三角関数の値(基準角と還元公式)

要点整理

この単元で学ぶこと

前のページ(三角関数の定義と相互関係)では、$\sin\theta, \cos\theta, \tan\theta$ の間に成り立つ関係式や、単位円上での符号の決まり方を学びました。このページでは、それらを土台にして、$\sin\dfrac{5\pi}{3}$ や $\cos\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)$ のように具体的な角が与えられたとき、その三角関数の値を実際に求める方法を学びます。

方法は2通りあります。

方法1: 基準角と象限の符号を使って、図(単位円)から求める
方法2: 還元公式という公式を使って、計算だけで求める

どちらも最終的には同じ値にたどり着きます。まずは図でイメージがつかめる方法1から見ていきましょう。

方法1:基準角と象限の符号を使う

基準角の考え方

一般角 $\theta$ の動径が単位円上の点 $\mathrm{P}(\cos\theta, \sin\theta)$ を表すとき、動径と $x$ 軸のなす角のうち、$0$ から $\dfrac{\pi}{2}$ までの鋭角を基準角(基準の角)といいます。基準角を $\alpha$ とすると、$\sin\theta, \cos\theta, \tan\theta$ の絶対値は、必ず $\sin\alpha, \cos\alpha, \tan\alpha$ のいずれかと一致します。あとは、$\theta$ がどの象限にあるかを見て、前のページで学んだ符号のきまりを当てはめるだけです。

$ \begin{array}{c|cccc} & \text{第1象限} & \text{第2象限} & \text{第3象限} & \text{第4象限} \\ \hline \sin\theta & + & + & - & - \\ \cos\theta & + & - & - & + \\ \tan\theta & + & - & + & - \end{array} $

手順

角 $\theta$ の動径が単位円上のどこにあるか(どの象限か)を確認する。
動径と $x$ 軸とのなす鋭角(基準角)$\alpha$ を求める。
基準角 $\alpha$ の三角比の値($\sin\alpha, \cos\alpha, \tan\alpha$ のうち有名角の値)を求める。
象限に応じた符号を、3の値につける。

例1: $\sin\dfrac{5\pi}{3}$ を求めてみます。$\dfrac{5\pi}{3}$ は $\dfrac{3\pi}{2} < \dfrac{5\pi}{3} < 2\pi$ を満たすので第4象限の角です。$x$ 軸の正の部分から測って、動径までの残りの角(基準角)は

$\alpha = 2\pi - \frac{5\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} - \frac{5\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$

です。第4象限では $\sin\theta < 0$ なので、

$\sin\frac{5\pi}{3} = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt3}{2}$

例2: $\cos\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)$ を求めてみます。負の角は時計回りに測るので、$-\dfrac{3\pi}{4}$ の動径は、$-\pi < -\dfrac{3\pi}{4} < -\dfrac{\pi}{2}$ より第3象限にあります(角度で言えば $-135°$ の位置で、これは $225°$ の位置と同じです)。$x$ 軸の負の部分から測った基準角は

$\alpha = \pi - \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$

第3象限では $\cos\theta < 0$ なので、

$\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = -\cos\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt2}{2}$

$0°$〜$360°$ の三角比の値の表

授業では、この基準角の考え方を $0°$ から $360°$ まで $15°$ 刻みですべて計算し、表にまとめる練習をしたと思います。表の中身はすべて「基準角を求めて符号をつける」という同じ手順の繰り返しです。参考として、いくつかの角の値を確認しておきます(残りの角も同じ手順で自分で埋められることを確かめてみましょう)。

度	$30°$	$45°$	$60°$	$120°$	$135°$	$150°$
ラジアン	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{2\pi}{3}$	$\dfrac{3\pi}{4}$	$\dfrac{5\pi}{6}$
$\sin$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac{1}{2}$
$\cos$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$-\dfrac{1}{2}$	$-\dfrac{\sqrt2}{2}$	$-\dfrac{\sqrt3}{2}$
$\tan$	$\dfrac{\sqrt3}{3}$	$1$	$\sqrt3$	$-\sqrt3$	$-1$	$-\dfrac{\sqrt3}{3}$

$120°, 135°, 150°$ はいずれも第2象限の角で、基準角はそれぞれ $180°-120°=60°$、$180°-135°=45°$、$180°-150°=30°$ です。第2象限では $\sin$ が正、$\cos$ と $\tan$ が負になることに注意すると、表の後半3列が前半3列の $\sin$ をそのまま使い、$\cos, \tan$ には符号を反転させたものになっていることが分かります。

方法2:還元公式を使う

方法1は図をかけば確実ですが、そのたびに象限や基準角を考えるのは少し手間です。そこで、$\theta+\pi$ や $-\theta$ のように「$\theta$ を平行移動・反転してできる角」の三角関数を、$\theta$ 自身の三角関数で表す公式を用意しておくと、図をかかずに計算だけで値を求められます。これを還元公式といい、次の6種類があります。

還元公式(全6種)

① $2\pi$(1周)を加える

$\sin(\theta+2n\pi) = \sin\theta, \qquad \cos(\theta+2n\pi) = \cos\theta, \qquad \tan(\theta+2n\pi) = \tan\theta \quad (n\text{は整数})$

② 反対回り($-\theta$)

$\sin(-\theta) = -\sin\theta, \qquad \cos(-\theta) = \cos\theta, \qquad \tan(-\theta) = -\tan\theta$

③ $\pi$ を加える

$\sin(\theta+\pi) = -\sin\theta, \qquad \cos(\theta+\pi) = -\cos\theta, \qquad \tan(\theta+\pi) = \tan\theta$

④ $\dfrac{\pi}{2}$ を加える

$\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right) = \cos\theta, \qquad \cos\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\theta, \qquad \tan\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{1}{\tan\theta}$

⑤ $\pi-\theta$

$\sin(\pi-\theta) = \sin\theta, \qquad \cos(\pi-\theta) = -\cos\theta, \qquad \tan(\pi-\theta) = -\tan\theta$

⑥ $\dfrac{\pi}{2}-\theta$

$\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) = \cos\theta, \qquad \cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) = \sin\theta, \qquad \tan\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) = \frac{1}{\tan\theta}$

覚え方: $\dfrac{\pi}{2}$($90°$)が絡む公式(④⑥)では $\sin\theta$ と $\cos\theta$ が入れ替わり、$\tan\theta$ は逆数になります。一方、$\pi$ や $2\pi$ が絡む公式(①②③⑤)では、$\sin, \cos, \tan$ はそれぞれ入れ替わらず、符号だけが変わるかそのままです。

公式の導き方(③と④)

還元公式は覚えるだけでなく、単位円から導けることを確認しておきましょう。角 $\theta$ の動径が単位円上の点 $\mathrm{P}(\cos\theta, \sin\theta)$ を表すとします。

③ $\theta+\pi$ の場合: 動径を原点を中心に $\pi$(半周)だけ回転させると、角 $\theta+\pi$ の動径になります。原点を中心に半回転させる(点対称移動)と、点の $x$ 座標・$y$ 座標はどちらも符号が反転するので、点 $\mathrm{P}(\cos\theta, \sin\theta)$ は点 $(-\cos\theta, -\sin\theta)$ に移ります。この移った点は、定義より角 $\theta+\pi$ に対応する点 $\mathrm{P}(\cos(\theta+\pi), \sin(\theta+\pi))$ そのものなので、座標を比べると

$\cos(\theta+\pi) = -\cos\theta, \qquad \sin(\theta+\pi) = -\sin\theta$

が得られます。さらに $\tan(\theta+\pi) = \dfrac{\sin(\theta+\pi)}{\cos(\theta+\pi)} = \dfrac{-\sin\theta}{-\cos\theta} = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \tan\theta$ となります。

④ $\theta+\dfrac{\pi}{2}$ の場合: 動径を原点を中心に $\dfrac{\pi}{2}$(4分の1周)だけ回転させると、角 $\theta+\dfrac{\pi}{2}$ の動径になります。原点を中心に $90°$ 回転させると、点 $(x,y)$ は点 $(-y,x)$ に移ります(例えば $x$ 軸上の点 $(1,0)$ は $90°$ 回転すると $y$ 軸上の点 $(0,1)$ に移ることから確かめられます)。この規則を点 $\mathrm{P}(\cos\theta, \sin\theta)$ に当てはめると、移った先の点は $(-\sin\theta, \cos\theta)$ です。この点は角 $\theta+\dfrac{\pi}{2}$ に対応する点 $\mathrm{P}\left(\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right), \sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)\right)$ そのものなので、座標を比べると

$\cos\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\theta, \qquad \sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right) = \cos\theta$

が得られます。さらに $\tan\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)}{\cos\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)} = \dfrac{\cos\theta}{-\sin\theta} = -\dfrac{1}{\tan\theta}$($\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ の逆数が $\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$ であることを使いました)となります。

残りの①②⑤⑥も、同じように「動径をどれだけ回転・反転させるか」を考えれば導くことができます。

還元公式の使い方の例

$\sin\dfrac{7\pi}{6}$ を求めてみます。$\dfrac{7\pi}{6} = \pi + \dfrac{\pi}{6}$ と考えて、公式③($\theta = \dfrac{\pi}{6}$)を使うと、

$\sin\frac{7\pi}{6} = \sin\left(\pi+\frac{\pi}{6}\right) = -\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$

$\tan\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)$ を求めてみます。公式②($\theta = \dfrac{\pi}{4}$)を使うと、

$\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\tan\frac{\pi}{4} = -1$

方法1と方法2の関係

方法1(基準角+符号)と方法2(還元公式)は、同じ問題に対して必ず同じ答えを与える、2つの別ルートです。

方法1は、単位円の図をイメージしながら「今どの象限にいて、$x$軸からどれだけ離れているか」を考えるので、直感的で意味が分かりやすい反面、角が複雑になると図をかく手間がかかります。
方法2は、公式さえ覚えていれば図をかかずに機械的に計算できるので速い反面、6種類の公式を正しく覚えて使い分ける必要があります。

慣れないうちは方法1で図を確認しながら値を求め、答えが合っているかを方法2でも確かめる、という使い方がおすすめです。実際、例題3ではこの2つの方法が同じ答えにたどり着くことを確認します。

例題

例題1(基本)

問題方法1(基準角と象限の符号)を使って、$\sin\dfrac{4\pi}{3}$ と $\cos\dfrac{4\pi}{3}$ の値を求めなさい。

解答・解説を見る

象限を調べる

$\dfrac{4\pi}{3}$ は $\pi < \dfrac{4\pi}{3} < \dfrac{3\pi}{2}$ を満たすので、第3象限の角です。

基準角を求める

$x$ 軸の負の部分から測った基準角は、

$\alpha = \frac{4\pi}{3} - \pi = \frac{4\pi}{3} - \frac{3\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$

符号をつける

第3象限では $\sin\theta < 0$、$\cos\theta < 0$ です。基準角 $\dfrac{\pi}{3}$ の三角比は $\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2}$、$\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}$ なので、

$\sin\frac{4\pi}{3} = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt3}{2}, \qquad \cos\frac{4\pi}{3} = -\cos\frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2}$

よって、$\sin\dfrac{4\pi}{3} = -\dfrac{\sqrt3}{2}$、$\cos\dfrac{4\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$ です。

答え: $\sin\dfrac{4\pi}{3} = -\dfrac{\sqrt3}{2}$、$\cos\dfrac{4\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$

例題2(標準)

問題方法2(還元公式)を使って、$\sin\dfrac{5\pi}{6}$、$\cos\dfrac{5\pi}{6}$、$\tan\dfrac{5\pi}{6}$ の値を求めなさい。

解答・解説を見る

$\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}$ と考えられるので、公式⑤($\pi-\theta$ の形、$\theta=\dfrac{\pi}{6}$)を使います。

$\sin(\pi-\theta) = \sin\theta, \qquad \cos(\pi-\theta) = -\cos\theta, \qquad \tan(\pi-\theta) = -\tan\theta$

$\theta=\dfrac{\pi}{6}$ を代入すると、基準角 $\dfrac{\pi}{6}$ の三角比 $\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}$、$\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}$、$\tan\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{3}$ を使って、

$\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

$\cos\frac{5\pi}{6} = -\cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt3}{2}$

$\tan\frac{5\pi}{6} = -\tan\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt3}{3}$

検算: $\dfrac{5\pi}{6}$ は $\dfrac{\pi}{2}<\dfrac{5\pi}{6}<\pi$ を満たす第2象限の角で、基準角は $\pi-\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac{\pi}{6}$ です。第2象限では $\sin>0, \cos<0, \tan<0$ なので、方法1で考えても同じ結果になり、符号も一致しています。

答え: $\sin\dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$、$\cos\dfrac{5\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt3}{2}$、$\tan\dfrac{5\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt3}{3}$

例題3(応用)

問題 $\sin\left(-\dfrac{7\pi}{6}\right)$、$\cos\left(-\dfrac{7\pi}{6}\right)$、$\tan\left(-\dfrac{7\pi}{6}\right)$ の値を、方法1と方法2の両方で求め、同じ答えになることを確かめなさい。

解答・解説を見る

方法1(基準角と象限の符号)で求める

$-\dfrac{7\pi}{6}$ は負の角なので時計回りに測ります。$-\dfrac{7\pi}{6}$ に $2\pi$ を加えると

$-\frac{7\pi}{6}+2\pi = -\frac{7\pi}{6}+\frac{12\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

となり、これは第2象限の角(同じ位置を表す角)です。基準角は $\pi-\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac{\pi}{6}$。第2象限では $\sin>0, \cos<0, \tan<0$ なので、

$\sin\left(-\frac{7\pi}{6}\right) = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, \quad \cos\left(-\frac{7\pi}{6}\right) = -\cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt3}{2}, \quad \tan\left(-\frac{7\pi}{6}\right) = -\tan\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt3}{3}$

方法2(還元公式)で求める

まず公式②($-\theta$、$\theta=\dfrac{7\pi}{6}$)を使って符号を外に出します。

$\sin\left(-\frac{7\pi}{6}\right) = -\sin\frac{7\pi}{6}, \qquad \cos\left(-\frac{7\pi}{6}\right) = \cos\frac{7\pi}{6}, \qquad \tan\left(-\frac{7\pi}{6}\right) = -\tan\frac{7\pi}{6}$

次に $\dfrac{7\pi}{6}=\pi+\dfrac{\pi}{6}$ なので、公式③($\theta=\dfrac{\pi}{6}$)を使うと、

$\sin\frac{7\pi}{6} = -\sin\frac{\pi}{6} = -\frac12, \qquad \cos\frac{7\pi}{6} = -\cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt3}{2}, \qquad \tan\frac{7\pi}{6} = \tan\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt3}{3}$

これらを1つ目の式に代入すると、

$\sin\left(-\frac{7\pi}{6}\right) = -\left(-\frac12\right) = \frac12, \qquad \cos\left(-\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt3}{2}, \qquad \tan\left(-\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt3}{3}$

確認

方法1と方法2のどちらでも、$\sin\left(-\dfrac{7\pi}{6}\right) = \dfrac12$、$\cos\left(-\dfrac{7\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt3}{2}$、$\tan\left(-\dfrac{7\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt3}{3}$ となり、一致しました。

答え: $\sin\left(-\dfrac{7\pi}{6}\right) = \dfrac12$、$\cos\left(-\dfrac{7\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt3}{2}$、$\tan\left(-\dfrac{7\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt3}{3}$

例題4(発展)

問題還元公式を使って、次の式の値が $\theta$ によらず一定であることを示しなさい。

$\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)\cos(\theta+\pi) - \cos\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)\sin(\theta+\pi)$

解答・解説を見る

4つの還元公式をそれぞれ当てはめて、式全体を $\sin\theta, \cos\theta$ だけの式に書き換えます。

公式④より $\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos\theta$、$\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin\theta$。

公式③より $\cos(\theta+\pi)=-\cos\theta$、$\sin(\theta+\pi)=-\sin\theta$。

これらを与式に代入すると、

$\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)\cos(\theta+\pi) - \cos\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)\sin(\theta+\pi)$

$= (\cos\theta)(-\cos\theta) - (-\sin\theta)(-\sin\theta)$

$(-\sin\theta)(-\sin\theta)$ は負の数どうしの積なので $\sin^2\theta$(正の値)になることに注意すると、

$= -\cos^2\theta - \sin^2\theta = -(\sin^2\theta+\cos^2\theta)$

ここで、前のページで学んだ三角関数の相互関係 $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ を使うと、

$= -1$

となり、$\theta$ の値によらず常に $-1$ になることが示せました。

答え: 与式の値は常に $-1$($\theta$ によらず一定)

練習問題

問題方法1(基準角と象限の符号)を使って、$\tan\dfrac{11\pi}{6}$ の値を求めなさい。

答え

$-\dfrac{\sqrt3}{3}$

簡単な解説

$\dfrac{11\pi}{6}$ は $\dfrac{3\pi}{2}<\dfrac{11\pi}{6}<2\pi$ より第4象限の角。基準角は $2\pi-\dfrac{11\pi}{6}=\dfrac{\pi}{6}$。第4象限では $\tan\theta<0$ なので $\tan\dfrac{11\pi}{6}=-\tan\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt3}{3}$。

問題方法2(還元公式)を使って、$\cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)$ の値を求めなさい。

答え

$-\dfrac12$

簡単な解説

公式②より $\cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)=\cos\dfrac{2\pi}{3}$。$\dfrac{2\pi}{3}=\pi-\dfrac{\pi}{3}$ なので公式⑤より $\cos\dfrac{2\pi}{3}=\cos\left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\cos\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac12$。(方法1で確かめても、$-\dfrac{2\pi}{3}$ は第3象限の角で基準角 $\dfrac{\pi}{3}$、第3象限では $\cos<0$ なので同じ答えになります。)