図形と方程式 公式ページ

2点間の距離の公式

$$AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$

線分の内分点の座標

$$\left(\frac{nx_1+mx_2}{m+n},\ \frac{ny_1+my_2}{m+n}\right)$$

線分の外分点の座標

$$\left(\frac{-nx_1+mx_2}{m-n},\ \frac{-ny_1+my_2}{m-n}\right)$$

1点を通り、傾きmの直線の方程式

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$

2点(x1, y1), (x2, y2)を通る直線の方程式(x1≠x2のとき)

$$y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$$

直線の一般形

$$ax + by + c = 0$$

2直線の平行条件(傾き)

$$m_1 = m_2$$

2直線の垂直条件(傾き)

$$m_1 m_2 = -1$$

2直線の平行条件(一般形)

$$a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0$$

2直線の垂直条件(一般形)

$$a_1 a_2 + b_1 b_2 = 0$$

点と直線の距離

$$d = \frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

円の方程式(標準形)

$$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$$

円の方程式(一般形)

$$x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$$

判別式

$$D = b^2-4ac$$

点と直線の距離

$$d = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

原点中心の円の接線の公式

$$x_1x + y_1y = r^2$$

アポロニウスの円(距離の比の条件)

$$PA:PB=m:n \iff n\,PA=m\,PB$$

2円が2点で交わる条件

$$|r_1-r_2| < d < r_1+r_2$$

2円の交点を通る図形の式

$$(x^2+y^2+l_1x+m_1y+n_1) + k\,(x^2+y^2+l_2x+m_2y+n_2) = 0 \quad (k\neq-1\text{ のとき円}, \ k=-1\text{ のとき根軸})$$

外部相似点の座標(外分点の公式)

$$\left(\frac{-r_2x_1+r_1x_2}{r_1-r_2},\ \frac{-r_2y_1+r_1y_2}{r_1-r_2}\right)$$

内部相似点の座標(内分点の公式)

$$\left(\frac{r_2x_1+r_1x_2}{r_1+r_2},\ \frac{r_2y_1+r_1y_2}{r_1+r_2}\right)$$

積の形の不等式(同符号)

$$AB>0 \iff (A>0\ \text{かつ}\ B>0)\ \text{または}\ (A<0\ \text{かつ}\ B<0)$$

積の形の不等式(異符号)

$$AB<0 \iff (A>0\ \text{かつ}\ B<0)\ \text{または}\ (A<0\ \text{かつ}\ B>0)$$

内側の円が外側の円に含まれる条件

$$d+r_1 \leqq r_2 \quad (d:\text{中心間の距離},\ r_1:\text{内側の円の半径},\ r_2:\text{外側の円の半径})$$