数学B / 統計的な推測
母比率の推定
要点整理
標本比率の分布
前の単元「母平均の推定」では、母平均 $m$ を、標本平均 $\overline{X}$ を使って区間推定する方法を学びました。この単元では、同じ考え方を使って、母集団の中である性質を持つものの割合(母比率 $p$)を推定する方法を学びます。
例えば、「ある工場の製品の不良品の割合」「ある政策への支持率」のように、母集団の中の"割合"を知りたい場面はよくあります。母比率 $p$ の母集団から大きさ $n$ の標本を無作為に取り出し、その中でその性質を持つものの個数を $X$ とすると、$X$ は二項分布 $B(n,p)$ に従います(数学Bの「確率分布」の単元で学んだとおりです)。標本比率(標本の中でその性質を持つものの割合)を、
$R=\frac{X}{n}$
と定めます。$X$ が二項分布 $B(n,p)$ に従うことから、二項分布の期待値・分散の公式($E(X)=np$、$V(X)=np(1-p)$)と、期待値・分散の1次変換の公式を使うと、
$E(R)=p,\qquad V(R)=\frac{p(1-p)}{n}$
が得られます。さらに、標本の大きさ $n$ が十分大きいとき、前の単元と同じ理由(中心極限定理の考え方)によって、$R$ は近似的に正規分布
$N\left(p,\ \frac{p(1-p)}{n}\right)$
に従うことが知られています。
母比率の信頼区間
母平均の推定のときと全く同じ手順で、この正規分布を標準化し、正規分布表の値 $P(-1.96\leq Z\leq1.96)=0.95$ を使うと、信頼度95%の信頼区間
$R-1.96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\ \leq\ p\ \leq\ R+1.96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$
が得られます(導出の流れは、母平均の信頼区間を求めたときと同様なので、ここでは結果の確認にとどめます。気になる人は、前の単元の導出を $\overline{X}\to R$、$m\to p$、$\sigma\to\sqrt{p(1-p)}$ と読み替えてみましょう)。
ここで、1つ問題があります。この式には、求めたい母比率 $p$ 自身が(根号の中に)含まれてしまっています。$p$ を求めるための式に $p$ が必要という、堂々巡りになってしまうのです。
そこで実用上は、標本の大きさ $n$ が十分大きいときには、根号の中の $p$ を、標本から実際に計算できる標本比率 $R$で置き換えてしまう、という近似が使われます。この置き換えを行うと、次の実用的な公式が得られます。
$R-1.96\sqrt{\frac{R(1-R)}{n}}\ \leq\ p\ \leq\ R+1.96\sqrt{\frac{R(1-R)}{n}}$
これが、母比率の信頼度95%の信頼区間の公式です。同じ考え方で、$P(-2.58\leq Z\leq2.58)\approx0.99$ を使うと、信頼度99%の信頼区間の公式、
$R-2.58\sqrt{\frac{R(1-R)}{n}}\ \leq\ p\ \leq\ R+2.58\sqrt{\frac{R(1-R)}{n}}$
も得られます。以降の例題では、この公式を使って実際に信頼区間を計算する手順に慣れていきましょう。
信頼区間を求める手順
- 標本の大きさ $n$ と、その中で性質を持つものの個数から、標本比率 $R=\dfrac{(\text{性質を持つ個数})}{n}$ を計算する。
- $R(1-R)$ を計算し、それを $n$ で割ってから、根号($\sqrt{\ }$)をとる。
- その値に、信頼度95%なら $1.96$、信頼度99%なら $2.58$ を掛ける。
- $R$ からその値を引いたものが信頼区間の左端、$R$ にその値を足したものが右端になる。
例題
例題1(基本)
問題
ある政党の支持率を調べるために、有権者100人を無作為に抽出して調査したところ、50人がその政党を支持すると答えた。この政党の支持率(母比率 $p$)を、信頼度95%で推定しなさい。
解答・解説を見る
標本比率を計算します。$n=100$、支持者数は $50$ 人なので、
$R=\frac{50}{100}=0.5$
信頼度95%の信頼区間の公式 $R-1.96\sqrt{\dfrac{R(1-R)}{n}}\ \leq\ p\ \leq\ R+1.96\sqrt{\dfrac{R(1-R)}{n}}$ を使います。まず、根号の中を計算します。
$R(1-R)=0.5\times0.5=0.25$
$\frac{R(1-R)}{n}=\frac{0.25}{100}=0.0025$
$\sqrt{0.0025}=0.05$
次に、$1.96\times0.05$ を計算します。
$1.96\times0.05=0.098$
これを信頼区間の公式に代入します。
$0.5-0.098\ \leq\ p\ \leq\ 0.5+0.098$
$0.402\ \leq\ p\ \leq\ 0.598$
したがって、母比率 $p$(支持率)の信頼度95%の信頼区間は、
$0.402\ \leq\ p\ \leq\ 0.598$
です。
例題2(標準)
問題
ある製品について消費者600人にアンケートを行ったところ、360人が「満足している」と回答した。「満足している」と回答する母比率 $p$ を、信頼度99%で推定しなさい。
解答・解説を見る
標本比率を計算します。$n=600$、「満足している」と回答した人数は $360$ 人なので、
$R=\frac{360}{600}=0.6$
信頼度99%の信頼区間の公式 $R-2.58\sqrt{\dfrac{R(1-R)}{n}}\ \leq\ p\ \leq\ R+2.58\sqrt{\dfrac{R(1-R)}{n}}$ を使います。根号の中を計算します。
$R(1-R)=0.6\times0.4=0.24$
$\frac{R(1-R)}{n}=\frac{0.24}{600}=0.0004$
$\sqrt{0.0004}=0.02$
次に、$2.58\times0.02$ を計算します。
$2.58\times0.02=0.0516$
これを信頼区間の公式に代入します。
$0.6-0.0516\ \leq\ p\ \leq\ 0.6+0.0516$
$0.5484\ \leq\ p\ \leq\ 0.6516$
したがって、母比率 $p$ の信頼度99%の信頼区間は、
$0.5484\ \leq\ p\ \leq\ 0.6516$
です。
例題3(応用)
問題
ある製品の不良品の母比率 $p$ を推定する調査を計画している。事前の情報が何もないため、標本比率 $R$ がどんな値になるか分からない。$R(1-R)$ は $R=\dfrac12$ のときに最大値 $\dfrac14$ をとることを利用して、信頼度95%の信頼区間の幅(区間の右端から左端を引いた長さ)を、$R$ がどんな値であっても $0.08$ 以下にできるための、標本の大きさ $n$ の最小値を求めよ。
解答・解説を見る
まず、$R(1-R)$ が $R=\dfrac12$ のときに最大値 $\dfrac14$ をとることを確認しておきます。
$R(1-R)=R-R^2=-\left(R-\frac12\right)^2+\frac14$
と平方完成できるので、$-\left(R-\dfrac12\right)^2\leq0$ より $R(1-R)\leq\dfrac14$ が常に成り立ち、等号は $R=\dfrac12$ のときです。
信頼度95%の信頼区間 $R-1.96\sqrt{\dfrac{R(1-R)}{n}}\ \leq\ p\ \leq\ R+1.96\sqrt{\dfrac{R(1-R)}{n}}$ の幅(右端 $-$ 左端)は、
$2\times1.96\times\sqrt{\frac{R(1-R)}{n}}$
です。$R(1-R)\leq\dfrac14$ なので、この幅は、
$2\times1.96\times\sqrt{\frac{R(1-R)}{n}}\ \leq\ 2\times1.96\times\sqrt{\frac{1}{4n}}=2\times1.96\times\frac{1}{2\sqrt n}=\frac{1.96}{\sqrt n}$
を満たします。つまり、$\dfrac{1.96}{\sqrt n}$ が、$R$ の値に関係なく成り立つ「幅の上限」になっています。したがって、この上限が $0.08$ 以下になるように $n$ を決めれば、実際の $R$ がどんな値であっても、信頼区間の幅は必ず $0.08$ 以下になります。
$\frac{1.96}{\sqrt n}\leq0.08$
両辺に $\sqrt n$ をかけます。
$1.96\leq0.08\sqrt n$
両辺を $0.08$ で割ります。
$\sqrt n\geq\frac{1.96}{0.08}=24.5$
両辺を2乗します(両辺とも正の数なので、不等号の向きは変わりません)。
$n\geq24.5^2=600.25$
標本の大きさ $n$ は整数でなければならないので、$n\geq600.25$ を満たす最小の整数は $n=601$ です。
答え:標本の大きさを 601以上 にすればよい。
練習問題
問題
ある工場から抜き取った製品の不良品の母比率を、信頼度95%で推定したい。過去の実績から、不良品の母比率はおよそ $R=0.1$ と見積もられている。信頼区間の幅を $0.02$ 以下にしたい。必要な標本の大きさ $n$ の最小値を求めよ。
答え
$R(1-R)=0.1\times0.9=0.09$。信頼区間の幅は $2\times1.96\times\sqrt{\dfrac{0.09}{n}}\leq0.02$ なので、
$\sqrt{\frac{0.09}{n}}\leq\frac{0.02}{3.92}=\frac{1}{196}$
両辺を2乗すると $\dfrac{0.09}{n}\leq\dfrac{1}{38416}$ より、
$n\geq0.09\times38416=3457.44$
したがって、標本の大きさを 3458以上 にすればよい。