2円の共通接線

位置関係と半径を確認する

円1:中心 $\mathrm{O_1}(0,0)$、半径 $r_1=3$。円2:中心 $\mathrm{O_2}(6,8)$、半径 $r_2=3$。

中心間の距離は、

$d=\sqrt{(6-0)^2+(8-0)^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$

$r_1+r_2=6$ なので $d=10>6$ となり、この2円は離れています(共通接線は4本)。

半径が等しいので、平行な直線として求める

$r_1=r_2=3$ なので、外部共通接線は直線 $\mathrm{O_1O_2}$ に平行になります。方向ベクトルは $\overrightarrow{\mathrm{O_1O_2}}=(6,8)$ で、これは $(3,4)$ に比例します(共通因数 $2$ で割りました)。

方向ベクトルが $(3,4)$ の直線は $4x-3y+c=0$ の形で表せます(この式が方向 $(3,4)$ を持つことは、法線ベクトル $(4,-3)$ と方向ベクトル $(3,4)$ の内積が $4\times3+(-3)\times4=0$ になることから確認できます)。

距離の条件から $c$ を決める

中心 $\mathrm{O_1}(0,0)$ からこの直線までの距離が半径 $3$ に等しいので、

$\frac{|4\times0-3\times0+c|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=3$

$\frac{|c|}{5}=3\ \Longrightarrow\ |c|=15\ \Longrightarrow\ c=\pm15$

したがって、外部共通接線は、

$4x-3y+15=0,\qquad 4x-3y-15=0$

検算

中心 $\mathrm{O_2}(6,8)$ からの距離も確かめます。直線 $\mathrm{O_1O_2}$ に平行な直線は、$\mathrm{O_1}$ からと $\mathrm{O_2}$ からの距離が自動的に等しくなるはずです。

$\frac{|4\times6-3\times8+15|}{5}=\frac{|24-24+15|}{5}=\frac{15}{5}=3\ (=r_2)\ \checkmark$

$\frac{|4\times6-3\times8-15|}{5}=\frac{|-15|}{5}=3\ (=r_2)\ \checkmark$

どちらも半径 $3$ に一致しました。また、$\mathrm{O_1},\mathrm{O_2}$ を直線 $4x-3y+15=0$ の式に代入すると、どちらも符号が同じ(正)になり、2つの円が直線の同じ側にあることも確認できます(外部共通接線であることの確認)。

したがって、求める外部共通接線は $4x-3y+15=0$ と $4x-3y-15=0$ です。

位置関係と半径を確認する

円1:中心 $\mathrm{O_1}(0,0)$、半径 $r_1=3$。円2:中心 $\mathrm{O_2}(20,0)$、半径 $r_2=15$。

$d=20$、$r_1+r_2=18$、$|r_1-r_2|=12$ なので $d>r_1+r_2$ より、この2円は離れています(共通接線は4本)。今回は半径が異なる($3\neq15$)ので、外部相似点を求める必要があります。

外部相似点を求める

比を簡単にすると $r_1:r_2=3:15=1:5$ なので、$m=1,\ n=5$ として外分点の公式に代入します。

$x$座標:$\dfrac{-5\times0+1\times20}{1-5}=\dfrac{20}{-4}=-5$

$y$座標:$\dfrac{-5\times0+1\times0}{1-5}=0$

したがって、外部相似点は $(-5,0)$ です。

円1に対する接線として求める(前のトピックの例題3と同じ方法)

点 $(-5,0)$ を通り、$x$軸に垂直でない直線を、傾き $m$ を使って表します。

$y-0=m(x-(-5))\ \Longrightarrow\ y=m(x+5)$

$ax+by+c=0$ の形に直すと、

$mx-y+5m=0$

円1($\mathrm{O_1}(0,0)$、$r_1=3$)に接する条件は、中心からこの直線までの距離が $3$ に等しいことなので、

$\frac{|m\times0-0+5m|}{\sqrt{m^2+(-1)^2}}=3\ \Longrightarrow\ \frac{|5m|}{\sqrt{m^2+1}}=3$

両辺に $\sqrt{m^2+1}$ をかけて2乗します。

$25m^2=9(m^2+1)$

$25m^2-9m^2=9\ \Longrightarrow\ 16m^2=9\ \Longrightarrow\ m^2=\frac{9}{16}\ \Longrightarrow\ m=\pm\frac{3}{4}$

($x$軸に垂直な直線 $x=-5$ は、原点からの距離が $5\neq3$ なので接線ではありません。)

接線の式を求める

$m=\dfrac{3}{4}$ のとき、$y=\dfrac{3}{4}(x+5)$。両辺を$4$倍して整理すると、

$4y=3x+15\ \Longrightarrow\ 3x-4y+15=0$

$m=-\dfrac{3}{4}$ のとき、同様に、

$3x+4y+15=0$

検算:円2にも接することを確かめる

中心 $\mathrm{O_2}(20,0)$ から直線 $3x-4y+15=0$ までの距離は、

$\frac{|3\times20-4\times0+15|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{|60+15|}{5}=\frac{75}{5}=15\ (=r_2)\ \checkmark$

もう1本の直線 $3x+4y+15=0$ についても、

$\frac{|3\times20+4\times0+15|}{5}=\frac{75}{5}=15\ (=r_2)\ \checkmark$

どちらも半径 $15$ に一致し、確かに円2にも接しています。$\mathrm{O_1},\mathrm{O_2}$ を代入した符号がどちらも同じ(正)になることも確認でき、外部共通接線であることが分かります。

したがって、求める外部共通接線は $3x-4y+15=0$ と $3x+4y+15=0$ です。

位置関係と半径を確認する

円1:中心 $\mathrm{O_1}(0,0)$、半径 $r_1=3$。円2:中心 $\mathrm{O_2}(15,0)$、半径 $r_2=6$。

$d=15$、$r_1+r_2=9$ なので $d>r_1+r_2$ より、この2円は離れています(共通接線は4本、内部共通接線は2本)。

内部相似点を求める

比を簡単にすると $r_1:r_2=3:6=1:2$ なので、$m=1,\ n=2$ として内分点の公式に代入します。

$x$座標:$\dfrac{2\times0+1\times15}{1+2}=\dfrac{15}{3}=5$

$y$座標:$\dfrac{2\times0+1\times0}{1+2}=0$

したがって、内部相似点は $(5,0)$ です(これは線分 $\mathrm{O_1O_2}$ の内部の点になっていることを確認しておきましょう。$0<5<15$ なので確かに内部にあります)。

円1に対する接線として求める

点 $(5,0)$ を通る直線を、傾き $m$ を使って $y=m(x-5)$、すなわち $mx-y-5m=0$ とおきます。円1に接する条件は、

$\frac{|m\times0-0-5m|}{\sqrt{m^2+1}}=3\ \Longrightarrow\ \frac{|5m|}{\sqrt{m^2+1}}=3$

先ほどと同じ形の式なので、両辺を2乗すると、

$25m^2=9(m^2+1)\ \Longrightarrow\ 16m^2=9\ \Longrightarrow\ m=\pm\frac{3}{4}$

接線の式を求める

$m=\dfrac{3}{4}$ のとき、$y=\dfrac34(x-5)$ を整理して、

$4y=3x-15\ \Longrightarrow\ 3x-4y-15=0$

$m=-\dfrac{3}{4}$ のとき、同様に、

$3x+4y-15=0$

検算:円2にも接し、かつ「内部」共通接線であることを確かめる

中心 $\mathrm{O_2}(15,0)$ から直線 $3x-4y-15=0$ までの距離は、

$\frac{|3\times15-4\times0-15|}{5}=\frac{|45-15|}{5}=\frac{30}{5}=6\ (=r_2)\ \checkmark$

もう1本の直線 $3x+4y-15=0$ についても、

$\frac{|3\times15+0-15|}{5}=\frac{30}{5}=6\ (=r_2)\ \checkmark$

どちらも円2に接することが確かめられました。最後に、これらが本当に内部共通接線かどうかを確認します。直線 $3x-4y-15=0$ の左辺に $\mathrm{O_1}(0,0)$ を代入すると $-15$(負)、$\mathrm{O_2}(15,0)$ を代入すると $45-15=30$(正)となり、符号が異なります。符号が異なるということは、2つの中心がこの直線に対して反対側にあるということなので、確かに内部共通接線です(外部相似点から求めた例題2の接線では、符号が同じになっていたことと比べてみてください)。もう1本の直線でも同様に、$\mathrm{O_1}$ で $-15$(負)、$\mathrm{O_2}$ で $30$(正)と符号が異なり、内部共通接線であることが確認できます。

したがって、求める内部共通接線は $3x-4y-15=0$ と $3x+4y-15=0$ です。

位置関係と半径を確認する

円1:中心 $\mathrm{O_1}(0,0)$、半径 $r_1=4$。円2:中心 $\mathrm{O_2}(40,0)$、半径 $r_2=\sqrt{1296}=36$。

$d=40,\qquad r_1+r_2=4+36=40$

$d=r_1+r_2$ なので、この2円は外接しています。したがって、共通接線は合計3本(外部共通接線2本+接点を通る接線1本)あります。順番に求めていきます。

(1) 接点を通る接線

外接するとき、接点は線分 $\mathrm{O_1O_2}$ を $r_1:r_2$ に内分する点になります(円1側から距離 $r_1$ だけ進んだ点が、ちょうど円2側から見ても距離 $r_2$ の点に一致するためです)。

比を簡単にすると $r_1:r_2=4:36=1:9$ なので、$m=1,\ n=9$ として内分点の公式に代入します。

$x=\frac{9\times0+1\times40}{1+9}=\frac{40}{10}=4,\qquad y=0$

したがって接点は $\mathrm{T}(4,0)$ です。検算すると、$\mathrm{O_1T}=4=r_1$、$\mathrm{O_2T}=|40-4|=36=r_2$ となり正しいことが確認できます。

接点における接線は、中心を結ぶ線分 $\mathrm{O_1O_2}$(これは $x$軸)に垂直な直線なので、

$x=4$

念のため検算すると、$\mathrm{O_1}(0,0)$ からこの直線までの距離は $4=r_1$、$\mathrm{O_2}(40,0)$ からの距離は $|40-4|=36=r_2$ となり、確かに両方の円に接しています。

(2) 外部共通接線

外部相似点を求めます。比 $r_1:r_2=1:9$($m=1,n=9$)で線分 $\mathrm{O_1O_2}$ を外分すると、

$x=\frac{-9\times0+1\times40}{1-9}=\frac{40}{-8}=-5,\qquad y=0$

外部相似点は $(-5,0)$ です。この点から円1($\mathrm{O_1}(0,0)$、$r_1=4$)への接線を求めます。点 $(-5,0)$ を通る直線 $y=m(x+5)$、すなわち $mx-y+5m=0$ が円1に接する条件は、

$\frac{|5m|}{\sqrt{m^2+1}}=4\ \Longrightarrow\ 25m^2=16(m^2+1)\ \Longrightarrow\ 9m^2=16\ \Longrightarrow\ m=\pm\frac{4}{3}$

$m=\dfrac43$ のとき $y=\dfrac43(x+5)$ を整理して、

$3y=4x+20\ \Longrightarrow\ 4x-3y+20=0$

$m=-\dfrac43$ のとき、同様に、

$4x+3y+20=0$

検算

円2($\mathrm{O_2}(40,0)$、$r_2=36$)への距離を確認します。

$\frac{|4\times40-3\times0+20|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=\frac{|160+20|}{5}=\frac{180}{5}=36\ (=r_2)\ \checkmark$

$\frac{|4\times40+3\times0+20|}{5}=\frac{180}{5}=36\ (=r_2)\ \checkmark$

どちらも半径 $36$ に一致し、円2にも接することが確認できました。$\mathrm{O_1},\mathrm{O_2}$ を代入した符号もどちらの直線でも同じ(正)になり、外部共通接線であることと整合しています。

まとめ

以上より、この2円の共通接線は次の3本です。

$x=4,\qquad 4x-3y+20=0,\qquad 4x+3y+20=0$

各問とも $d,\ r_1+r_2,\ |r_1-r_2|$ を計算して比較します。

(a) $d=10$、$r_1+r_2=5$。$d>r_1+r_2$ なので離れている → 共通接線4本

(b) $d=8$、$r_1+r_2=8$。$d=r_1+r_2$ なので外接 → 共通接線3本

(c) $d=5$、$r_1+r_2=7$、$|r_1-r_2|=1$。$1<5<7$ なので2点で交わる → 共通接線2本

(d) $d=3$、$|r_1-r_2|=3$。$d=|r_1-r_2|$ なので内接 → 共通接線1本

(e) $d=2$、$|r_1-r_2|=7$。$d<|r_1-r_2|$ なので一方が内部にある → 共通接線0本

$3x-4y+5=0$ および $3x-4y-5=0$

簡単な解説

円1:中心 $(0,0)$、$r_1=1$。円2:中心 $(8,6)$、$r_2=1$。$d=\sqrt{8^2+6^2}=10>2=r_1+r_2$ なので離れています。半径が等しいので、外部共通接線は直線 $\mathrm{O_1O_2}$(方向ベクトル $(8,6)$、簡約すると $(4,3)$)に平行な直線 $3x-4y+c=0$ の形になります。原点からの距離が $1$ になるように $c$ を決めると、$\dfrac{|c|}{5}=1$ より $c=\pm5$ となります。