数学B / 数列
確率と漸化式の融合問題
要点整理
確率漸化式とは
これまで、漸化式を解いて数列の一般項を求める方法(前の単元「種々の漸化式」)と、確率を求める方法(数学Aの「場合の数と確率」)を、別々に学んできました。この単元では、この2つを組み合わせた確率漸化式と呼ばれるタイプの問題を扱います。
これは、「ある試行を$n$回行った後に、特定の状態になっている確率」を $P_n$ とおき、$P_n$ と $P_{n+1}$(または $P_{n-1}$ と $P_n$)の間に成り立つ関係式(漸化式)を作り、それを解いて $P_n$ を $n$ の式として求める、という問題です。じゃんけん、コイン投げ、点や玉の移動など、同じ操作を繰り返す設定でよく登場します。
なぜ漸化式を使うのか:「同じ操作を$n$回繰り返したとき」のように、繰り返す回数が具体的な数ではなく文字 $n$ で与えられている問題を、1回1回すべて書き出して数えるのはとても大変です。しかし、「$n$回目の状態」と「$n+1$回目の状態」の間だけに注目すれば、試行回数が何回であっても同じ関係式が成り立つので、これを漸化式として一般化して解いてしまう方が、圧倒的に効率的です。
解く手順
確率漸化式の問題は、次の3つの手順で解くのが基本です。
手順1:状態を定義する
まず、何を「状態」として、何を $P_n$ とおくかを決めます。例えば、「$n$回目の試行が終わった時点で事象Aが起こっている確率」を $P_n$ とする、といった具合です。状態が2つしかない場合(Aが起こっている・起こっていない、など)は、Aが起こっていない確率は $1-P_n$ と表せることも覚えておきましょう。あわせて、$P_1$(または、操作を1回も行っていない最初の状態の確率)を、問題の設定から具体的に求めておきます。
手順2:$n$回目と$n+1$回目の関係式を作る
$P_{n+1}$ を、$P_n$ を使って表す式を作ります。ここが最も重要で、最も間違えやすい手順です。「($n+1$)回目の試行が終わった時点で状態が実現している」という事象を、「$n$回目の時点でどんな状態だったか」によって、もれなく・重複なく場合分けします。状態が2つ(Aである・Aでない)の場合、次のように考えます。
- $n$回目の時点で状態Aだった場合(確率 $P_n$)、そこから1回の操作を経て、$n+1$回目でも状態Aのままである確率を掛け合わせる。
- $n$回目の時点で状態Aでなかった場合(確率 $1-P_n$)、そこから1回の操作を経て、$n+1$回目には状態Aになる確率を掛け合わせる。
これら2つの場合は同時には起こらない(排反)ので、確率を足し合わせます。
$P_{n+1}=(\text{Aのまま}\to\text{Aである確率})\times P_n+(\text{Aでない}\to\text{Aになる確率})\times(1-P_n)$
この式を整理すると、多くの場合、前の単元で学んだ $P_{n+1}=pP_n+q$ の形(特性方程式を使うタイプ)になります。
手順3:漸化式を解く
手順2で作った漸化式を、前の単元「種々の漸化式」で学んだ方法(特性方程式を使う方法など)で解き、一般項 $P_n$ を求めます。最後に、$n=1$ のとき(手順1で確認した初期条件)に正しく一致するかどうかを確認しましょう。
例題
例題1(基本)
問題
表の出る確率が $\dfrac13$ であるかたよった硬貨がある。この硬貨を $n$ 回投げるとき、表の出た回数が偶数である確率を $P_n$ とする($0$回も偶数回に含める)。$P_n$ を $n$ の式で表せ。
解答・解説を見る
手順1:状態を定義する
「$n$回投げ終えた時点で、表の出た回数が偶数である」ことの確率を $P_n$ とします。表の出る確率は $\dfrac13$、裏の出る確率は $1-\dfrac13=\dfrac23$ です。
$1$回目を投げ終えた時点で表の出た回数が偶数であるのは、$1$回目が裏($0$回、偶数)のときだけなので、
$P_1=\frac23$
手順2:漸化式を作る
$n+1$回目を投げ終えた時点で表の出た回数が偶数であるのは、次の2つの場合です。
- $n$回目までで表が偶数回(確率 $P_n$)であり、かつ $n+1$回目に裏が出て、偶数のまま変わらない場合(確率 $\dfrac23$)
- $n$回目までで表が奇数回(確率 $1-P_n$)であり、かつ $n+1$回目に表が出て、奇数から偶数に変わる場合(確率 $\dfrac13$)
この2つの場合は同時には起こらないので、確率を足し合わせます。
$P_{n+1}=\frac23P_n+\frac13(1-P_n)$
右辺を整理します。
$P_{n+1}=\frac23P_n+\frac13-\frac13P_n=\left(\frac23-\frac13\right)P_n+\frac13=\frac13P_n+\frac13$
手順3:漸化式を解く
$P_{n+1}=\dfrac13P_n+\dfrac13$ は $P_{n+1}=pP_n+q$ の形($p=\dfrac13,q=\dfrac13$)です。特性方程式を作ります。
$\alpha=\frac13\alpha+\frac13$
これを解きます。両辺から $\dfrac13\alpha$ を引くと、
$\frac23\alpha=\frac13\ \Longrightarrow\ \alpha=\frac12$
もとの漸化式から特性方程式を引くと、
$P_{n+1}-\frac12=\frac13\left(P_n-\frac12\right)$
したがって、数列 $\left\{P_n-\dfrac12\right\}$ は公比 $\dfrac13$ の等比数列です。初項は、
$P_1-\frac12=\frac23-\frac12=\frac16$
なので、
$P_n-\frac12=\frac16\left(\frac13\right)^{n-1}$
$P_n=\frac12+\frac16\left(\frac13\right)^{n-1}$
(検算)$P_1=\dfrac12+\dfrac16=\dfrac36+\dfrac16=\dfrac46=\dfrac23$(一致)。$P_2=\dfrac12+\dfrac16\times\dfrac13=\dfrac12+\dfrac1{18}=\dfrac9{18}+\dfrac1{18}=\dfrac{10}{18}=\dfrac59$。直接計算すると、$2$回とも同じ面(表表、裏裏)になる確率は $\left(\dfrac13\right)^2+\left(\dfrac23\right)^2=\dfrac19+\dfrac49=\dfrac59$ となり、一致しています。
答え:$P_n=\dfrac12+\dfrac16\left(\dfrac13\right)^{n-1}$
例題2(標準)
問題
正三角形ABCの頂点Aに点Pがある。点Pは、1回の操作で、隣り合う2つの頂点のどちらかに、それぞれ確率 $\dfrac12$ で移動する。$n$回の操作の後に点Pが頂点Aにある確率を $P_n$ とする。$P_n$ を $n$ の式で表せ。
解答・解説を見る
手順1:状態を定義する
「$n$回の操作の後に、点Pが頂点Aにある」ことの確率を $P_n$ とします。最初、点Pは頂点Aにあります。$1$回操作すると、点Pは必ずB、Cのどちらかに移動する(Aには留まらない)ので、
$P_1=0$
手順2:漸化式を作る
$n+1$回目の操作の後に点Pが頂点Aにあるのは、次の場合だけです。
- $n$回目の操作の後、点PがAにない(確率 $1-P_n$)、かつ、$n+1$回目の操作でAに移動する場合
$n$回目の操作の後に点PがAにある場合(確率 $P_n$)は、$n+1$回目の操作で必ずB、Cのどちらかへ移動するので、$n+1$回目にAにある確率には $0$ しか寄与しません。
一方、$n$回目の操作の後に点PがAにない場合、点PはBかCのどちらかにいます。正三角形はB、Cのどちらから見ても、隣り合う頂点は「Aと、もう一方の頂点」の2つなので、Bにいても、Cにいても、次の操作でAに移動する確率はどちらも $\dfrac12$ です(対称性より、Bにいる場合とCにいる場合を区別する必要はありません)。したがって、
$P_{n+1}=0\times P_n+\frac12\times(1-P_n)=\frac12(1-P_n)=-\frac12P_n+\frac12$
手順3:漸化式を解く
$P_{n+1}=-\dfrac12P_n+\dfrac12$ の特性方程式を作ります。
$\alpha=-\frac12\alpha+\frac12$
両辺に $\dfrac12\alpha$ を足すと、
$\frac32\alpha=\frac12\ \Longrightarrow\ \alpha=\frac13$
もとの漸化式から特性方程式を引くと、
$P_{n+1}-\frac13=-\frac12\left(P_n-\frac13\right)$
したがって、数列 $\left\{P_n-\dfrac13\right\}$ は公比 $-\dfrac12$ の等比数列です。初項は、
$P_1-\frac13=0-\frac13=-\frac13$
なので、
$P_n-\frac13=-\frac13\left(-\frac12\right)^{n-1}$
$P_n=\frac13-\frac13\left(-\frac12\right)^{n-1}=\frac13\left\{1-\left(-\frac12\right)^{n-1}\right\}$
(検算)$P_1=\dfrac13\{1-1\}=0$(一致)。$P_2=\dfrac13\left\{1-\left(-\dfrac12\right)\right\}=\dfrac13\times\dfrac32=\dfrac12$。直接考えると、$2$回操作した後にAに戻るのは、A→B→A、A→C→Aの2通りで、それぞれ確率 $\dfrac12\times\dfrac12=\dfrac14$ なので、合計 $\dfrac14+\dfrac14=\dfrac12$ となり、一致しています。
答え:$P_n=\dfrac13\left\{1-\left(-\dfrac12\right)^{n-1}\right\}$
例題3(応用)
問題
正四面体ABCDの頂点Aに点Pがある。点Pは、1回の操作で、Aを含む辺を通って、他の3頂点のいずれかに、同じ確率で移動する(正四面体はどの2頂点も辺で結ばれているので、どの頂点にいても、他の3頂点への移動先は常にこの3通りである)。$n$回の操作の後に点Pが頂点Aにある確率を $P_n$ とする。$P_n$ を $n$ の式で表せ。
解答・解説を見る
手順1:状態を定義する
「$n$回の操作の後に、点Pが頂点Aにある」ことの確率を $P_n$ とします。最初、点Pは頂点Aにあります。$1$回操作すると、点Pは必ずB、C、Dのいずれかに移動する(Aには留まらない)ので、
$P_1=0$
手順2:漸化式を作る
例題2と同じ考え方で場合分けします。
- $n$回目の操作の後、点PがAにある場合(確率 $P_n$):$n+1$回目には必ずB,C,Dのどれかへ移動するので、Aにある確率には $0$ しか寄与しない。
- $n$回目の操作の後、点PがAにない場合(確率 $1-P_n$):点PはB,C,Dのいずれかにいる。正四面体はどの頂点からも他の3頂点への移動先が同等なので、B,C,Dのどこにいても、次の操作でAに移動する確率は $\dfrac13$(3つの移動先のうち1つがAだから)。
したがって、
$P_{n+1}=0\times P_n+\frac13(1-P_n)=-\frac13P_n+\frac13$
手順3:漸化式を解く
特性方程式を作ります。
$\alpha=-\frac13\alpha+\frac13$
両辺に $\dfrac13\alpha$ を足すと、
$\frac43\alpha=\frac13\ \Longrightarrow\ \alpha=\frac14$
もとの漸化式から特性方程式を引くと、
$P_{n+1}-\frac14=-\frac13\left(P_n-\frac14\right)$
数列 $\left\{P_n-\dfrac14\right\}$ は公比 $-\dfrac13$ の等比数列で、初項は $P_1-\dfrac14=0-\dfrac14=-\dfrac14$ なので、
$P_n-\frac14=-\frac14\left(-\frac13\right)^{n-1}$
$P_n=\frac14\left\{1-\left(-\frac13\right)^{n-1}\right\}$
(検算)$P_1=\dfrac14\{1-1\}=0$(一致)。$P_2=\dfrac14\left\{1-\left(-\dfrac13\right)\right\}=\dfrac14\times\dfrac43=\dfrac13$。直接考えると、$1$回目にB,C,Dのどれかへ移動し(確率 $1$)、$2$回目にそこからAへ移動する確率は $\dfrac13$ なので、$P_2=1\times\dfrac13=\dfrac13$ となり、一致しています。
答え:$P_n=\dfrac14\left\{1-\left(-\dfrac13\right)^{n-1}\right\}$
練習問題
問題
表の出る確率が $\dfrac23$ であるかたよった硬貨がある。この硬貨を $n$ 回投げるとき、表の出た回数が偶数である確率を $P_n$ とする($0$回も偶数回に含める)。$P_n$ を $n$ の式で表せ。
答え
例題1と同じ手順で考えます。$P_1=1-\dfrac23=\dfrac13$(1回目が裏で偶数)。$n+1$回目に偶数になるのは、「$n$回目が偶数かつ$n+1$回目が裏(確率$\dfrac13$)」または「$n$回目が奇数かつ$n+1$回目が表(確率$\dfrac23$)」の場合なので、
$P_{n+1}=\frac13P_n+\frac23(1-P_n)=-\frac13P_n+\frac23$
特性方程式 $\alpha=-\dfrac13\alpha+\dfrac23$ を解くと、$\dfrac43\alpha=\dfrac23$ より $\alpha=\dfrac12$。
$P_{n+1}-\frac12=-\frac13\left(P_n-\frac12\right)$
初項は $P_1-\dfrac12=\dfrac13-\dfrac12=-\dfrac16$ なので、
$P_n-\frac12=-\frac16\left(-\frac13\right)^{n-1}$
答え:$P_n=\dfrac12-\dfrac16\left(-\dfrac13\right)^{n-1}$