数学II / 三角関数
三角関数を含む方程式・最大最小
要点整理
これまで学んできた「2倍角の公式」「三角関数の合成」の知識を組み合わせると、$\sin\theta$ や $\cos\theta$ が複雑に混ざった式の最大値・最小値を求めることができます。代表的な3つの解法パターンを整理します。
パターン0: $t=\sin\theta$(または $t=\cos\theta$)と置き換えるだけの基本パターン
式の中に $\sin\theta$ と $\cos\theta$ が混ざっておらず、$\sin\theta$ だけ(または $\cos\theta$ だけ)で作られている式なら、2倍角の公式も合成も必要ありません。$t=\sin\theta$(または $t=\cos\theta$)とおくだけで、数学Ⅰで学んだ「定義域に制限がある2次関数の最大・最小」の問題に帰着できます。パターン1・パターン2に進む前のウォームアップとして、まずこの基本パターンを押さえましょう。
(1) $t$ のとりうる値の範囲: $\theta$ が1周分(範囲に特別な制限がない場合)を動くなら、$\sin\theta$ の値は常に
$-1 \le \sin\theta \le 1$
の範囲をすべてとります($\cos\theta$ も同様に $-1\le\cos\theta\le1$)。つまり $t=\sin\theta$ とおいたら、必ず
$-1 \le t \le 1$
という制限のもとで考える必要があります。これは $\theta$ の範囲がどうであれ($\theta$ が1周分以上動く限り)変わらない、最も基本的な制約です。
(2) 平方完成して頂点を求める: $t$ で書き直した式は $y=at^2+bt+c$ の形の2次関数になるので、パターン2と同じように平方完成して頂点の $t$ 座標を求めます。
(3) 頂点が区間 $-1\le t\le1$ のどこにあるかで場合分けする: ここがこの基本パターンでいちばん注意すべきポイントです。
- 頂点がちょうど区間の端($t=-1$ または $t=1$)にある場合: 頂点そのものが端点なので、そこで一方の最大値(または最小値)がすぐ決まります。もう一方の値は、頂点から遠いもう片方の端点を計算すれば求まります(頂点が端にあるので、比べるまでもなく反対側の端点が遠い方です)。
- 頂点が区間の内側($-1
例: $0\le\theta<2\pi$ のとき、$y=\sin^2\theta+2\sin\theta$ の最大値・最小値と、そのときの $\theta$ の値を求めてみましょう。
$\sin\theta$ しか登場しないので、$t=\sin\theta$ とおきます。$0\le\theta<2\pi$ は $\theta$ がちょうど1周するので、
$-1 \le t \le 1$
$y$ を $t$ で書き直すと、
$y = t^2+2t$
平方完成すると、
$y = (t+1)^2-1$
これは下に凸な放物線で、頂点は $t=-1$。この頂点は定義域 $-1\le t\le1$ の左端ちょうどにあります。下に凸なので、この頂点で最小値をとります。
$y_{\min} = (-1+1)^2-1 = -1 \quad \left(t=-1\text{ すなわち }\sin\theta=-1\text{ のとき}, \ \theta=\frac{3\pi}{2}\right)$
最大値は、頂点からもう一方の端点である $t=1$ で計算します(頂点が左端にあるので、比べるまでもなく右端 $t=1$ の方が頂点から遠いです)。
$y_{\max} = 1^2+2\times1 = 3 \quad \left(t=1\text{ すなわち }\sin\theta=1\text{ のとき}, \ \theta=\frac{\pi}{2}\right)$
答え: $\theta=\dfrac{\pi}{2}$ のとき最大値 $3$、$\theta=\dfrac{3\pi}{2}$ のとき最小値 $-1$
パターン1: 2倍角の公式で次数を下げてから合成する
$\sin^2\theta$ や $\sin\theta\cos\theta$ のように、$\sin,\cos$ が2次(かけ算の形)で混ざっている式は、2倍角の公式を逆向きに使うことで、角が $2\theta$ の1次式(足し算・引き算だけの形)に書き直せます。使う変形は次の3つです。
$\sin\theta\cos\theta = \frac12\sin2\theta \qquad(\because \sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta)$
$\sin^2\theta = \frac{1-\cos2\theta}{2} \qquad(\because \cos2\theta=1-2\sin^2\theta)$
$\cos^2\theta = \frac{1+\cos2\theta}{2} \qquad(\because \cos2\theta=2\cos^2\theta-1)$
こうして $\theta$ の2次の式を $2\theta$ の1次の式に変えたあと、$a\sin2\theta+b\cos2\theta$ の形が出てきたら、三角関数の合成を使って $r\sin(2\theta+\varphi)$ の1つの $\sin$ にまとめます。まとまってしまえば、あとは角の範囲から最大値・最小値を読み取るだけです。
パターン2: $t=\sin\theta+\cos\theta$ とおいて置き換える
$\sin\theta+\cos\theta$ と $\sin\theta\cos\theta$ の両方が式の中に登場する場合は、$t=\sin\theta+\cos\theta$ と置き換える方法が有効です。この置き換えのポイントは2つあります。
(1) $t$ のとりうる値の範囲: 三角関数の合成を使うと、
$t = \sin\theta+\cos\theta = \sqrt2\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)$
$\sin$ の値は $-1$ 以上 $1$ 以下なので、$t$ の範囲は
$-\sqrt2 \le t \le \sqrt2$
に限られます。$\theta$ をすべて実数で考えても、$t$ は $-\sqrt2$ から $\sqrt2$ の外には出られないので、置き換えたあとは必ずこの範囲で考える必要があります。
(2) $\sin\theta\cos\theta$ を $t$ で表す: $t=\sin\theta+\cos\theta$ の両辺を2乗すると、
$t^2 = \sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta = (\sin^2\theta+\cos^2\theta)+2\sin\theta\cos\theta = 1+2\sin\theta\cos\theta$
$\sin\theta\cos\theta$ について解くと、
$\sin\theta\cos\theta = \frac{t^2-1}{2}$
この2つを使えば、$\sin\theta+\cos\theta$ と $\sin\theta\cos\theta$ を含む式を、すべて $t$ だけの式(たいてい2次関数)に書き直すことができ、あとは数学Ⅰで学んだ「定義域に制限がある2次関数の最大・最小」の問題として解けます。
例題
例題1(基本)
問題 $y=2\sin\theta\cos\theta+1$ の最大値・最小値を求めなさい。
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$2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta$ を使って書き直します。
$y = \sin2\theta+1$
$\theta$ がすべての実数を動くとき、$2\theta$ もすべての実数を動くので、$\sin2\theta$ は $-1$ 以上 $1$ 以下のすべての値をとります。よって、
- $\sin2\theta=1$ のとき最大値 $y=1+1=2$
- $\sin2\theta=-1$ のとき最小値 $y=-1+1=0$
答え: 最大値 $2$、最小値 $0$
例題2(標準)
問題 $0\le\theta<\pi$ のとき、$y=\sin^2\theta+2\sqrt3\sin\theta\cos\theta-\cos^2\theta$ の最大値・最小値と、そのときの $\theta$ の値を求めなさい。
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2倍角の公式で次数を下げる: $\sin^2\theta-\cos^2\theta=-(\cos^2\theta-\sin^2\theta)=-\cos2\theta$、$2\sqrt3\sin\theta\cos\theta=\sqrt3\times2\sin\theta\cos\theta=\sqrt3\sin2\theta$ を使うと、
$y = \sqrt3\sin2\theta-\cos2\theta$
合成する: $a=\sqrt3$、$b=-1$ より、
$r=\sqrt{(\sqrt3)^2+(-1)^2}=\sqrt{4}=2, \qquad \cos\varphi=\frac{\sqrt3}{2}, \ \sin\varphi=-\frac12$
これを満たすのは $\varphi=-\dfrac{\pi}{6}$ なので、
$y = 2\sin\left(2\theta-\frac{\pi}{6}\right)$
範囲を調べる: $0\le\theta<\pi$ のとき、$2\theta$ の範囲は $0\le2\theta<2\pi$ なので、
$-\frac{\pi}{6} \le 2\theta-\frac{\pi}{6} < 2\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}$
この範囲で $\sin\left(2\theta-\dfrac{\pi}{6}\right)$ が最大値 $1$ をとるのは $2\theta-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}$ のときです。
$2\theta = \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6}+\frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} \quad\Longrightarrow\quad \theta=\frac{\pi}{3}$
このとき最大値 $y=2\times1=2$。
最小値 $-1$ をとるのは $2\theta-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{3\pi}{2}$ のときです。
$2\theta = \frac{3\pi}{2}+\frac{\pi}{6} = \frac{9\pi}{6}+\frac{\pi}{6} = \frac{10\pi}{6} = \frac{5\pi}{3} \quad\Longrightarrow\quad \theta=\frac{5\pi}{6}$
このとき最小値 $y=2\times(-1)=-2$。
答え: $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ のとき最大値 $2$、$\theta=\dfrac{5\pi}{6}$ のとき最小値 $-2$
例題3(応用)
問題 $0\le\theta<2\pi$ のとき、$y=\sin\theta\cos\theta+\sin\theta+\cos\theta$ の最大値・最小値を求めなさい。
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$\sin\theta+\cos\theta$ と $\sin\theta\cos\theta$ の両方が登場しているので、$t=\sin\theta+\cos\theta$ と置き換えます。
$t$ の範囲: $t=\sin\theta+\cos\theta=\sqrt2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)$ で、$\theta$ が $0\le\theta<2\pi$ を動くと $\theta+\dfrac{\pi}{4}$ も1周分すべての角を動くため、$\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)$ は $-1$ から $1$ までのすべての値をとります。よって、
$-\sqrt2 \le t \le \sqrt2$
$\sin\theta\cos\theta$ を $t$ で表す: $t^2=(\sin\theta+\cos\theta)^2=1+2\sin\theta\cos\theta$ より、
$\sin\theta\cos\theta = \frac{t^2-1}{2}$
$y$ を $t$ の式に書き直す: 元の式に代入します。
$y = \frac{t^2-1}{2}+t = \frac{t^2-1}{2}+\frac{2t}{2} = \frac{t^2+2t-1}{2}$
平方完成する: 分子 $t^2+2t-1$ を平方完成します。
$t^2+2t-1 = (t+1)^2-1^2-1 = (t+1)^2-2$
よって、
$y = \frac{(t+1)^2-2}{2} = \frac{(t+1)^2}{2}-1$
最大・最小を調べる: これは $t=-1$ で最小値をとる、下に凸な放物線です。$t$ の定義域 $-\sqrt2\le t\le\sqrt2$ の中に $t=-1$($-\sqrt2\approx-1.41$ より大きく $\sqrt2\approx1.41$ より小さい)が含まれているので、この頂点で最小値をとります。
$y_{\min} = \frac{(-1+1)^2}{2}-1 = 0-1 = -1$
最大値は、定義域の両端 $t=-\sqrt2$ と $t=\sqrt2$ のうち、頂点 $t=-1$ から遠い方でとります。それぞれ計算すると、
$t=\sqrt2 \text{ のとき}: \ y=\frac{(\sqrt2+1)^2}{2}-1 = \frac{2+2\sqrt2+1}{2}-1 = \frac{3+2\sqrt2}{2}-1 = \frac{3+2\sqrt2-2}{2} = \frac{1+2\sqrt2}{2}$
$t=-\sqrt2 \text{ のとき}: \ y=\frac{(-\sqrt2+1)^2}{2}-1 = \frac{2-2\sqrt2+1}{2}-1 = \frac{3-2\sqrt2}{2}-1 = \frac{1-2\sqrt2}{2}$
$2\sqrt2\approx2.83$ なので、$\dfrac{1+2\sqrt2}{2}\approx1.91$、$\dfrac{1-2\sqrt2}{2}\approx-0.91$ です。頂点から遠い(=絶対値が大きい $t+1$ になる)のは $t=\sqrt2$ の方なので、最大値は
$y_{\max} = \frac{1+2\sqrt2}{2}$
答え: 最大値 $\dfrac{1+2\sqrt2}{2}$($t=\sqrt2$、すなわち $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ のとき)、最小値 $-1$($t=-1$、すなわち $\theta=\pi, \dfrac{3\pi}{2}$ のとき)
例題4(発展)
問題 $0\le\theta\le\dfrac{\pi}{4}$ のとき、$y=\sin\theta\cos\theta+\sin\theta+\cos\theta$ の最大値・最小値を求めなさい。
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例題3と同じ置き換え $t=\sin\theta+\cos\theta$ を使いますが、今回は $\theta$ の範囲が制限されているので、$t$ の範囲の求め方に注意が必要です。
$y$ を $t$ の式に直す(例題3と同じ手順)
$t = \sin\theta+\cos\theta = \sqrt2\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)$
$t^2=1+2\sin\theta\cos\theta \quad\Longrightarrow\quad \sin\theta\cos\theta=\frac{t^2-1}{2}$
$y = \frac{t^2-1}{2}+t = \frac{t^2+2t-1}{2} = \frac{(t+1)^2-2}{2} = \frac{(t+1)^2}{2}-1$
(平方完成は例題3と同じです。)
$t$ の範囲を、制限された $\theta$ から求める
$0\le\theta\le\dfrac{\pi}{4}$ の各辺に $\dfrac{\pi}{4}$ を足すと、
$\frac{\pi}{4} \le \theta+\frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{2}$
この区間 $\left[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right]$ では、$\sin$ は単調に増加します(山の頂点 $\dfrac{\pi}{2}$ がちょうど右端にあるため)。したがって、
$\sin\frac{\pi}{4} \le \sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) \le \sin\frac{\pi}{2}$
$\frac{\sqrt2}{2} \le \sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) \le 1$
両辺に $\sqrt2$ をかけると、
$1 \le t \le \sqrt2$
この範囲で $y$ の最大・最小を調べる
$y=\dfrac{(t+1)^2}{2}-1$ は、$t=-1$ を頂点とする下に凸な放物線です。今回の $t$ の範囲 $1\le t\le\sqrt2$ は、頂点 $t=-1$ よりも右側($t>-1$ の側)にあるので、この区間で $y$ は $t$ について単調に増加します。したがって、
- 最小値:区間の左端 $t=1$ のとき。$y=\dfrac{(1+1)^2}{2}-1=\dfrac{4}{2}-1=1$。これは $\theta+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}$、すなわち $\theta=0$ のときです。
- 最大値:区間の右端 $t=\sqrt2$ のとき。$y=\dfrac{(\sqrt2+1)^2}{2}-1=\dfrac{2+2\sqrt2+1}{2}-1=\dfrac{3+2\sqrt2}{2}-1=\dfrac{1+2\sqrt2}{2}$。これは $\theta+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}$、すなわち $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ のときです。
検算:$\theta=0$ のとき、$y=\sin0\cos0+\sin0+\cos0=0+0+1=1$(最小値と一致)。$\theta=\dfrac{\pi}{4}$ のとき、$\sin\theta=\cos\theta=\dfrac{\sqrt2}{2}$ なので $y=\dfrac{\sqrt2}{2}\times\dfrac{\sqrt2}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac12+\sqrt2=\dfrac{1+2\sqrt2}{2}$(最大値と一致)。
答え: $\theta=0$ のとき最小値 $1$、$\theta=\dfrac{\pi}{4}$ のとき最大値 $\dfrac{1+2\sqrt2}{2}$
練習問題
問題 $y=\cos^2\theta-\sin\theta\cos\theta$ を $2\theta$ を用いた1つの三角関数の式(合成した形)に直しなさい。
答え
$\cos^2\theta=\dfrac{1+\cos2\theta}{2}$、$\sin\theta\cos\theta=\dfrac12\sin2\theta$ を使うと、
$y = \frac{1+\cos2\theta}{2}-\frac12\sin2\theta = \frac12-\frac12\sin2\theta+\frac12\cos2\theta$
$-\dfrac12\sin2\theta+\dfrac12\cos2\theta$ の部分を合成すると、$a=-\dfrac12, b=\dfrac12$ より $r=\sqrt{\frac14+\frac14}=\dfrac{\sqrt2}{2}$、$\varphi=\dfrac{3\pi}{4}$ となるので、
$y = \frac12+\frac{\sqrt2}{2}\sin\left(2\theta+\frac{3\pi}{4}\right)$
問題 $y=2\sin\theta\cos\theta-2\cos^2\theta+1$($\theta$ の範囲に制限はない)の最大値を求めなさい。
答え
最大値 $\sqrt2$
簡単な解説
$2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta$、$2\cos^2\theta=1+\cos2\theta$ より $y=\sin2\theta-(1+\cos2\theta)+1=\sin2\theta-\cos2\theta$。合成すると $y=\sqrt2\sin\left(2\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)$ となり、最大値は $\sqrt2$。
問題 $0\le\theta<2\pi$ のとき、$y=\cos^2\theta-\cos\theta$ の最大値と最小値を求めなさい。またそのときの $\theta$ の値を求めなさい。
答え
$\cos\theta$ しか登場しないので、$t=\cos\theta$ とおきます。$0\le\theta<2\pi$ より $\theta$ がちょうど1周するので、
$-1 \le t \le 1$
$y$ を $t$ で書き直すと、
$y = t^2-t$
平方完成すると、
$y = \left(t-\frac12\right)^2-\frac14$
頂点は $t=\dfrac12$ で、これは定義域 $-1\le t\le1$ の内側にあります(端ではありません)。下に凸なので、この頂点で最小値をとります。
$y_{\min} = \left(\frac12-\frac12\right)^2-\frac14 = -\frac14 \quad \left(t=\frac12\text{ すなわち }\cos\theta=\frac12\text{ のとき}, \ \theta=\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\right)$
最大値を求めるには、頂点が区間の内側にあるので、両端 $t=-1$ と $t=1$ の値を両方計算して比べる必要があります。
$t=-1 \text{ のとき}: \ y=(-1)^2-(-1)=1+1=2$
$t=1 \text{ のとき}: \ y=1^2-1=0$
頂点 $t=\dfrac12$ から遠いのは $t=-1$ の方($\left|\dfrac12-(-1)\right|=\dfrac32$ に対し $\left|\dfrac12-1\right|=\dfrac12$)なので、最大値は $t=-1$ のときの値です。
$y_{\max} = 2 \quad \left(t=-1\text{ すなわち }\cos\theta=-1\text{ のとき}, \ \theta=\pi\right)$
答え: $\theta=\pi$ のとき最大値 $2$、$\theta=\dfrac{\pi}{3},\dfrac{5\pi}{3}$ のとき最小値 $-\dfrac14$