平均変化率と微分係数

要点整理

平均変化率とは何か

関数 $y=f(x)$ について、$x$ の値が $a$ から $a+h$ まで変化するとき、$y$ の値は $f(a)$ から $f(a+h)$ まで変化します。この間の「$x$ が1増えるごとに $y$ がどれだけ変化するか」の平均的な割合を平均変化率といい、次の式で計算します。

$\frac{y\text{の変化量}}{x\text{の変化量}} = \frac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a} = \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

これは、数学Ⅰで学んだ「変化の割合」と全く同じ考え方です。グラフで考えると、2点 $\mathrm{A}(a, f(a))$ と $\mathrm{B}(a+h, f(a+h))$ を通る直線(割線といいます)の傾きが、まさにこの平均変化率にあたります。

微分係数とは何か

平均変化率は、$a$ から $a+h$ というある程度の幅での変化の平均を表すものでした。では、その幅を限りなく小さくしていったら何が起こるでしょうか。つまり、点 $\mathrm{B}$ を点 $\mathrm{A}$ に限りなく近づけていく($h$ を限りなく $0$ に近づけていく)ことを考えます。

このとき、割線 $\mathrm{AB}$ は、点 $\mathrm{A}$ における曲線の接線に限りなく近づいていきます。この極限の傾き、つまり「$x=a$ というたった1点における、変化の激しさ」を表す値を微分係数といい、$f'(a)$(エフダッシュエー、と読みます)という記号で表します。定義式は次の通りです。

$f'(a) = \lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

$\displaystyle\lim_{h\to0}$ は「$h$ を $0$ に限りなく近づけたときの極限」を意味する記号です。ここで注意したいのは、$h=0$ をそのまま代入するわけではないということです。もし $h=0$ をそのまま代入すると、分母が $0$ になってしまい計算ができません。そこで、まず $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ の式を、分子を展開して $h$ で約分できる形に整理してから、最後に $h\to0$ の極限をとる、という手順を踏みます。

幾何学的な意味のまとめ

平均変化率 $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$: 2点 $(a,f(a))$、$(a+h,f(a+h))$ を通る割線の傾き
微分係数 $f'(a)$: 点 $(a,f(a))$ における曲線の接線の傾き

例題

例題1(基本)

問題 $f(x)=x^2+1$ について、$x$ が $1$ から $3$ まで変化するときの平均変化率を求めなさい。

解答・解説を見る

平均変化率の公式 $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ に、$a=1$、$a+h=3$(つまり $h=2$)を当てはめます。まず $f(1)$ と $f(3)$ の値を求めます。

$f(1) = 1^2+1 = 2, \qquad f(3) = 3^2+1 = 10$

平均変化率は、

$\frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{10-2}{2} = \frac{8}{2} = 4$

例題2(標準)

問題 $f(x)=x^2-3x$ について、微分係数の定義に従って $f'(2)$ を求めなさい。

解答・解説を見る

定義式 $f'(2)=\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}$ に従って計算します。

$f(2)$ を求める:

$f(2) = 2^2-3\times2 = 4-6 = -2$

$f(2+h)$ を求める: $x=2+h$ を代入します。

$f(2+h) = (2+h)^2-3(2+h)$

$(2+h)^2$ を展開すると $4+4h+h^2$ なので、

$f(2+h) = 4+4h+h^2-3(2+h) = 4+4h+h^2-6-3h$

同類項をまとめます。

$f(2+h) = h^2+(4h-3h)+(4-6) = h^2+h-2$

$f(2+h)-f(2)$ を計算する:

$f(2+h)-f(2) = (h^2+h-2)-(-2) = h^2+h-2+2 = h^2+h$

$h$ で割る: $h\neq0$ として、分子を $h$ でくくります。

$\frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \frac{h^2+h}{h} = \frac{h(h+1)}{h} = h+1$

極限をとる: $h\to0$ とすると、

$f'(2) = \lim_{h\to0}(h+1) = 0+1 = 1$

答え: $f'(2)=1$

例題3(応用)

問題 $f(x)=x^2-4x+3$ について、$x$ が $1$ から $5$ まで変化するときの平均変化率と、$x=a$ における微分係数 $f'(a)$ が等しくなるような $a$ の値を求めなさい。

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平均変化率を求める: $f(1)=1-4+3=0$、$f(5)=25-20+3=8$ より、

$\frac{f(5)-f(1)}{5-1} = \frac{8-0}{4} = 2$

$f'(a)$ を定義に従って求める: $f(a)=a^2-4a+3$、

$f(a+h) = (a+h)^2-4(a+h)+3$

$(a+h)^2=a^2+2ah+h^2$ を使って展開します。

$f(a+h) = a^2+2ah+h^2-4a-4h+3$

$f(a+h)-f(a)$ を計算します。

$f(a+h)-f(a) = (a^2+2ah+h^2-4a-4h+3)-(a^2-4a+3)$

$a^2$、$-4a$、$3$ の項がそれぞれ打ち消し合うので、

$= 2ah+h^2-4h$

$h$ でくくると、

$= h(2a+h-4)$

$h$ で割ると、

$\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = 2a+h-4$

$h\to0$ の極限をとると、

$f'(a) = 2a-4$

方程式を解く: 平均変化率 $2$ と $f'(a)=2a-4$ が等しいという式を立てます。

$2a-4 = 2$

両辺に $4$ を加えます。

$2a = 6$

両辺を $2$ で割ります。

$a = 3$

答え: $a=3$

例題4(発展)

問題 $f(x)=-2x^2+3x-5$ について、微分係数の定義に従って $f'(a)$ を求めなさい。また、$x$ が $1$ から $t$ まで変化するときの平均変化率が $f'(a)$ と等しくなるとき、$t$ を $a$ を用いて表しなさい(ただし $t\neq1$)。

解答・解説を見る

$f'(a)$ を定義に従って求める: $f(a)=-2a^2+3a-5$、

$f(a+h) = -2(a+h)^2+3(a+h)-5$

$(a+h)^2=a^2+2ah+h^2$ を使って展開します。

$f(a+h) = -2a^2-4ah-2h^2+3a+3h-5$

$f(a+h)-f(a)$ を計算します。

$f(a+h)-f(a) = (-2a^2-4ah-2h^2+3a+3h-5)-(-2a^2+3a-5)$

$-2a^2$、$3a$、$-5$ の項がそれぞれ打ち消し合うので、

$= -4ah-2h^2+3h$

$h$ でくくると、

$= h(-4a-2h+3)$

$h$ で割ると、

$\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = -4a-2h+3$

$h\to0$ の極限をとると、

$f'(a) = 3-4a$

平均変化率を $t$ で表す: $f(1)=-2+3-5=-4$、$f(t)=-2t^2+3t-5$ より、

$f(t)-f(1) = (-2t^2+3t-5)-(-4) = -2t^2+3t-1$

この式を因数分解します。$-2t^2+3t-1=-(2t^2-3t+1)$ で、$2t^2-3t+1=(2t-1)(t-1)$ なので、

$f(t)-f(1) = -(2t-1)(t-1)$

$t\neq1$ なので $(t-1)$ で割ることができ、

$\frac{f(t)-f(1)}{t-1} = -(2t-1) = 1-2t$

$t$ について解く: 平均変化率 $1-2t$ が $f'(a)=3-4a$ と等しいという式を立てます。

$1-2t = 3-4a$

両辺に $2t$ を加え、$3$ を引きます。

$4a-2 = 2t$

両辺を $2$ で割ります。

$t = 2a-1$

答え: $f'(a)=3-4a$、$t=2a-1$

練習問題

問題 $f(x)=x^2+2x$ について、微分係数の定義に従って $f'(1)$ を求めなさい。

答え

$f(1)=3$、$f(1+h)=(1+h)^2+2(1+h)=1+2h+h^2+2+2h=h^2+4h+3$

$\frac{f(1+h)-f(1)}{h} = \frac{h^2+4h+3-3}{h} = \frac{h^2+4h}{h} = h+4$

$h\to0$ として $f'(1)=4$

問題 $f(x)=-x^2+4x-1$ について、$x$ が $2$ から $5$ まで変化するときの平均変化率を求めなさい。

答え

$f(2)=-4+8-1=3$、$f(5)=-25+20-1=-6$

$\frac{f(5)-f(2)}{5-2} = \frac{-6-3}{3} = \frac{-9}{3} = -3$