数学II / 図形と方程式
2円の位置関係と2つの円を通る図形の方程式
要点整理
1. 2円の位置関係
中心 $\mathrm{O_1}$、半径 $r_1$ の円と、中心 $\mathrm{O_2}$、半径 $r_2$ の円について、2つの中心間の距離を $d=\mathrm{O_1O_2}$ とします。この $d$ と $r_1,\ r_2$ の大小関係によって、2円の位置関係は次の5パターンに分類できます。
- 離れている(共有点なし):$d>r_1+r_2$
- 外接(1点で接する。互いに外側にある):$d=r_1+r_2$
- 2点で交わる:$|r_1-r_2|
- 内接(1点で接する。一方の円がもう一方の内部にある):$d=|r_1-r_2|$($r_1\neq r_2$)
- 一方が他方の内部にある(共有点なし):$d<|r_1-r_2|$
なぜこのように判定できるのか、考え方を確認しておきましょう。もし2円が共有点 $\mathrm{P}$ を持つなら、$\mathrm{O_1P}=r_1$、$\mathrm{O_2P}=r_2$ なので、3点 $\mathrm{O_1,O_2,P}$ を頂点とする三角形(または、一直線上に並ぶ退化した三角形)ができます。三角形の3辺の長さについては、「2辺の長さの和は残りの1辺より長い(またはそれと等しい)」という関係(三角不等式)が成り立つので、
$|r_1-r_2|\leq d\leq r_1+r_2$
という関係が必要になります。この不等号の等号が成り立つ場合(3点が一直線上に並んでしまう場合)が、ちょうど接する(外接・内接)場合に対応し、不等号が両方とも厳密に成り立つ場合(三角形がきちんとできる場合)が、2点で交わる場合に対応します。逆に、この範囲の外側($d$が大きすぎる、または小さすぎる)では、そもそもそのような三角形すら作れないので、共有点を持ちません。
判定の手順
- それぞれの円の中心の座標と半径を求める(一般形の場合は平方完成が必要)。
- 2点間の距離の公式を使って、中心間の距離 $d$ を計算する。
- $d$ と $r_1+r_2$、$|r_1-r_2|$ の大小を比較し、上の5パターンのどれに当てはまるか判定する。
2. 2円の交点を通る図形の方程式
2つの円
$C_1:\ x^2+y^2+l_1x+m_1y+n_1=0,\qquad C_2:\ x^2+y^2+l_2x+m_2y+n_2=0$
が2点 $\mathrm{A,B}$ で交わっているとします(どちらも $x^2,\ y^2$ の係数が $1$ の形で表されていることに注意してください)。この2つの交点 $\mathrm{A,B}$ を通る、別の円や直線の方程式を、実際に交点の座標を求めることなく作る方法があります。
根軸(2交点を通る直線)
$C_1$ の左辺から $C_2$ の左辺を引いた式を $0$ とおいた式、
$(x^2+y^2+l_1x+m_1y+n_1)-(x^2+y^2+l_2x+m_2y+n_2)=0$
を考えます。$x^2$ と $y^2$ の項がどちらも係数 $1$ なので、引き算すると消えてしまい、
$(l_1-l_2)x+(m_1-m_2)y+(n_1-n_2)=0$
という、$x,y$ の1次式、つまり直線の方程式が残ります。交点 $\mathrm{A,B}$ はどちらも $C_1=0$ かつ $C_2=0$ を満たすので、引き算した式にも当然 $0-0=0$ を満たします。つまり、この直線は2つの交点 $\mathrm{A,B}$ をどちらも通ります。この直線を、2円の根軸と呼びます。
2交点を通る円(円束)
さらに一歩進めて、定数 $k$($k\neq-1$)を使った次の式を考えます。
$(x^2+y^2+l_1x+m_1y+n_1)+k(x^2+y^2+l_2x+m_2y+n_2)=0$
交点 $\mathrm{A,B}$ では $C_1=0$ かつ $C_2=0$ が成り立つので、$k$ がどんな値であっても、この式の左辺は $0+k\times0=0$ となり、やはり交点 $\mathrm{A,B}$ を通ります。$k\neq-1$ のときは $x^2,y^2$ の係数が $1+k\ (\neq0)$ となって消えないので、この式は(条件を満たせば)円の方程式を表します。$k$ の値を変えると、$\mathrm{A,B}$ を通るさまざまな円が得られるので、これを2円 $C_1,C_2$ が作る「円束(えんそく)」と呼びます。
この方法を使うと、「2円の交点を通り、さらに別の条件(もう1点を通る、中心が特定の直線上にある、など)を満たす円」を、交点の座標をいちいち求めなくても作ることができます。手順は次の通りです。
- $C_1+k\,C_2=0$ という式を作る。
- 与えられた「別の条件」(通る点の座標など)を代入して、$k$ の値を決める。
- 求めた $k$ を代入し、必要なら整理して(係数を $x^2$ の係数が $1$ になるように調整するなど)、答えの方程式を完成させる。
例題
例題1(基本)
問題
2円 $x^2+y^2=9$ と $(x-5)^2+y^2=4$ の位置関係を調べよ。
解答・解説を見る
それぞれの円の中心と半径を読み取ります。
- 円1:$x^2+y^2=9$ は中心 $(0,0)$、半径 $r_1=3$
- 円2:$(x-5)^2+y^2=4$ は中心 $(5,0)$、半径 $r_2=2$
中心間の距離 $d$ を、2点間の距離の公式で求めます。
$d=\sqrt{(5-0)^2+(0-0)^2}=\sqrt{25}=5$
半径の和と差を計算します。
$r_1+r_2=3+2=5,\qquad |r_1-r_2|=|3-2|=1$
$d=5$ は、ちょうど $r_1+r_2=5$ と一致しています。したがって、この2円は外接しています。
例題2(標準)
問題
2円 $x^2+y^2-2x-2y-2=0$ と $x^2+y^2-8x-2y+13=0$ の位置関係を調べよ。また、この2円が2点で交わっている場合は、その2交点を通る直線の方程式を求めよ。
解答・解説を見る
中心と半径を求める
円1:$x^2+y^2-2x-2y-2=0$ を平方完成します。
$x^2-2x=(x-1)^2-1,\qquad y^2-2y=(y-1)^2-1$
これらを代入すると、
$(x-1)^2-1+(y-1)^2-1-2=0\ \Longrightarrow\ (x-1)^2+(y-1)^2=4$
したがって、円1の中心は $(1,1)$、半径は $r_1=2$ です。
円2:$x^2+y^2-8x-2y+13=0$ を平方完成します。
$x^2-8x=(x-4)^2-16,\qquad y^2-2y=(y-1)^2-1$
これらを代入すると、
$(x-4)^2-16+(y-1)^2-1+13=0\ \Longrightarrow\ (x-4)^2+(y-1)^2=4$
したがって、円2の中心は $(4,1)$、半径は $r_2=2$ です。
位置関係を判定する
中心間の距離を求めます。
$d=\sqrt{(4-1)^2+(1-1)^2}=\sqrt{9}=3$
半径の和と差を計算します。
$r_1+r_2=2+2=4,\qquad |r_1-r_2|=|2-2|=0$
$0<3<4$ より $|r_1-r_2|
交点を通る直線(根軸)を求める
円1の式から円2の式を引きます。
$(x^2+y^2-2x-2y-2)-(x^2+y^2-8x-2y+13)=0$
$x^2,y^2$ の項が消え、
$(-2x+8x)+(-2y+2y)+(-2-13)=0$
$6x-15=0$
両辺を $6$ で割ると、
$x=\frac{15}{6}=\frac52$
したがって、2交点を通る直線は $x=\dfrac52$ です(円1、円2の中心がどちらも $y=1$ 上にあり、半径も等しい($r_1=r_2=2$)ことから、根軸が2中心を結ぶ線分の垂直二等分線、つまり中心のちょうど中間の $x=\dfrac{1+4}{2}=\dfrac52$ になることとも一致しますね)。
例題3(応用)
問題
2円 $x^2+y^2=5$ と $x^2+y^2-2x-4y+3=0$ は2点 $\mathrm{A,B}$ で交わっている。この2点 $\mathrm{A,B}$ と、点 $(3,1)$ を通る円の方程式を求めよ。
解答・解説を見る
2点 $\mathrm{A,B}$ を通る円を、直接 $\mathrm{A,B}$ の座標を求めずに作ります。2円の式を $C_1=x^2+y^2-5$、$C_2=x^2+y^2-2x-4y+3$ とおくと、$\mathrm{A,B}$ ではどちらも $C_1=0$ かつ $C_2=0$ が成り立ちます。
$k\neq-1$ として、次の式を考えます。
$C_1+k\,C_2=0$
$(x^2+y^2-5)+k(x^2+y^2-2x-4y+3)=0$
この式は、$k$ の値によらず $\mathrm{A,B}$ を通ります。ここに、点 $(3,1)$ を通るという条件を使って $k$ を決めます。$x=3,\ y=1$ を代入します。
$C_1$ の値:$3^2+1^2-5=9+1-5=5$
$C_2$ の値:$3^2+1^2-2\times3-4\times1+3=9+1-6-4+3=3$
これらを代入すると、
$5+3k=0\ \Longrightarrow\ k=-\frac53$
$k=-\dfrac53$ は $k\neq-1$ を満たすので、この式は確かに円を表します。この $k$ を元の式に代入します。
$(x^2+y^2-5)-\frac53(x^2+y^2-2x-4y+3)=0$
両辺に $3$ をかけて分数を払います。
$3(x^2+y^2-5)-5(x^2+y^2-2x-4y+3)=0$
展開します。
$3x^2+3y^2-15-5x^2-5y^2+10x+20y-15=0$
同類項をまとめます。
$-2x^2-2y^2+10x+20y-30=0$
両辺を $-2$ で割って、$x^2,y^2$ の係数を $1$ にそろえます。
$x^2+y^2-5x-10y+15=0$
これが求める円の方程式です。
(検算)点 $(3,1)$ を代入すると、$9+1-15-10+15=0$ となり、確かに成り立っています。また、円1・円2の交点 $\mathrm{A,B}$ は、$x+2y-4=0$($C_1-C_2$ から得られる根軸)と $C_1=0$ を連立すると $(2,1)$ と $(-0.4,2.2)$ の2点であることが確かめられ、どちらも求めた円の式 $x^2+y^2-5x-10y+15=0$ を満たしています($(2,1)$:$4+1-10-10+15=0$、$(-0.4,2.2)$:$0.16+4.84+2-22+15=0$)。
練習問題
問題
2円 $x^2+y^2=10$ と $x^2+y^2-6x-2y+9=0$ が2点で交わることが分かっている。この2つの交点を通る直線の方程式を求めよ。
答え
2円の式を引き算すると、
$(x^2+y^2-10)-(x^2+y^2-6x-2y+9)=0$
$6x+2y-19=0$