数学II / 図形と方程式

2円の位置関係と2つの円を通る図形の方程式

要点整理

1. 2円の位置関係

中心 $\mathrm{O_1}$、半径 $r_1$ の円と、中心 $\mathrm{O_2}$、半径 $r_2$ の円について、2つの中心間の距離を $d=\mathrm{O_1O_2}$ とします。この $d$ と $r_1,\ r_2$ の大小関係によって、2円の位置関係は次の5パターンに分類できます。

  • 離れている(共有点なし):$d>r_1+r_2$
  • 外接(1点で接する。互いに外側にある):$d=r_1+r_2$
  • 2点で交わる:$|r_1-r_2|
  • 内接(1点で接する。一方の円がもう一方の内部にある):$d=|r_1-r_2|$($r_1\neq r_2$)
  • 一方が他方の内部にある(共有点なし):$d<|r_1-r_2|$

なぜこのように判定できるのか、考え方を確認しておきましょう。もし2円が共有点 $\mathrm{P}$ を持つなら、$\mathrm{O_1P}=r_1$、$\mathrm{O_2P}=r_2$ なので、3点 $\mathrm{O_1,O_2,P}$ を頂点とする三角形(または、一直線上に並ぶ退化した三角形)ができます。三角形の3辺の長さについては、「2辺の長さの和は残りの1辺より長い(またはそれと等しい)」という関係(三角不等式)が成り立つので、

$|r_1-r_2|\leq d\leq r_1+r_2$

という関係が必要になります。この不等号の等号が成り立つ場合(3点が一直線上に並んでしまう場合)が、ちょうど接する(外接・内接)場合に対応し、不等号が両方とも厳密に成り立つ場合(三角形がきちんとできる場合)が、2点で交わる場合に対応します。逆に、この範囲の外側($d$が大きすぎる、または小さすぎる)では、そもそもそのような三角形すら作れないので、共有点を持ちません。

判定の手順

  1. それぞれの円の中心の座標と半径を求める(一般形の場合は平方完成が必要)。
  2. 2点間の距離の公式を使って、中心間の距離 $d$ を計算する。
  3. $d$ と $r_1+r_2$、$|r_1-r_2|$ の大小を比較し、上の5パターンのどれに当てはまるか判定する。

2. 2円の交点を通る図形の方程式

2つの円

$C_1:\ x^2+y^2+l_1x+m_1y+n_1=0,\qquad C_2:\ x^2+y^2+l_2x+m_2y+n_2=0$

が2点 $\mathrm{A,B}$ で交わっているとします(どちらも $x^2,\ y^2$ の係数が $1$ の形で表されていることに注意してください)。この2つの交点 $\mathrm{A,B}$ を通る、別の円や直線の方程式を、実際に交点の座標を求めることなく作る方法があります。

根軸(2交点を通る直線)

$C_1$ の左辺から $C_2$ の左辺を引いた式を $0$ とおいた式、

$(x^2+y^2+l_1x+m_1y+n_1)-(x^2+y^2+l_2x+m_2y+n_2)=0$

を考えます。$x^2$ と $y^2$ の項がどちらも係数 $1$ なので、引き算すると消えてしまい、

$(l_1-l_2)x+(m_1-m_2)y+(n_1-n_2)=0$

という、$x,y$ の1次式、つまり直線の方程式が残ります。交点 $\mathrm{A,B}$ はどちらも $C_1=0$ かつ $C_2=0$ を満たすので、引き算した式にも当然 $0-0=0$ を満たします。つまり、この直線は2つの交点 $\mathrm{A,B}$ をどちらも通ります。この直線を、2円の根軸と呼びます。

2交点を通る円(円束)

さらに一歩進めて、定数 $k$($k\neq-1$)を使った次の式を考えます。

$(x^2+y^2+l_1x+m_1y+n_1)+k(x^2+y^2+l_2x+m_2y+n_2)=0$

交点 $\mathrm{A,B}$ では $C_1=0$ かつ $C_2=0$ が成り立つので、$k$ がどんな値であっても、この式の左辺は $0+k\times0=0$ となり、やはり交点 $\mathrm{A,B}$ を通ります。$k\neq-1$ のときは $x^2,y^2$ の係数が $1+k\ (\neq0)$ となって消えないので、この式は(条件を満たせば)円の方程式を表します。$k$ の値を変えると、$\mathrm{A,B}$ を通るさまざまな円が得られるので、これを2円 $C_1,C_2$ が作る「円束(えんそく)」と呼びます。

この方法を使うと、「2円の交点を通り、さらに別の条件(もう1点を通る、中心が特定の直線上にある、など)を満たす円」を、交点の座標をいちいち求めなくても作ることができます。手順は次の通りです。

  1. $C_1+k\,C_2=0$ という式を作る。
  2. 与えられた「別の条件」(通る点の座標など)を代入して、$k$ の値を決める。
  3. 求めた $k$ を代入し、必要なら整理して(係数を $x^2$ の係数が $1$ になるように調整するなど)、答えの方程式を完成させる。

3. 位置関係の条件から未知の円を求める

ここまでは、2つの円の方程式が両方とも具体的に分かっている場合に、位置関係を判定する方法を学びました。しかし、実際の問題では逆の方向、つまり「一方の円は分かっているが、もう一方の円は半径(や中心)が分かっておらず、その代わりに『外接する』『内接する』のような位置関係の条件が与えられている」という形で出題されることがよくあります。この場合は、その条件を使って未知の量についての方程式を立て、それを解くことになります。

解き方の手順

  1. 求めたい円の方程式を、分からない量(半径 $r$ など)を文字でおいて表す。
  2. 中心間の距離 $d$ を、2点間の距離の公式で計算する(これは分かっている情報だけで計算できる)。
  3. 与えられた位置関係の条件に対応する等式(外接なら $d=r+r'$、内接なら $d=|r-r'|$、など。1. で学んだ5つの関係式のどれか)に $d$ と分かっている半径 $r'$ を代入し、$r$ についての方程式を作る。
  4. その方程式を解いて $r$ を求め、円の方程式を完成させる。

具体例

中心が点 $(4,2)$ である円 $C$ と、円 $x^2+y^2=5$ が外接するとき、円 $C$ の方程式を求めてみましょう。

円 $C$ の半径を $r$(未知)とすると、$C:(x-4)^2+(y-2)^2=r^2$ と表せます。一方、円 $x^2+y^2=5$ は中心 $(0,0)$、半径 $r'=\sqrt5$ です。

2つの中心間の距離を求めます。

$d=\sqrt{(4-0)^2+(2-0)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt5$

外接する条件は $d=r+r'$ なので、

$2\sqrt5=r+\sqrt5\ \Longrightarrow\ r=\sqrt5$

したがって $r^2=5$ より、円 $C$ の方程式は $(x-4)^2+(y-2)^2=5$ です。

交点の座標を実際に求めるには

2円が2点で交わるとき、その2つの交点の座標そのものを求めたい場合もあります。2. で学んだ根軸(2交点を通る直線)を求めるところまでは同じですが、そこからさらに、根軸の方程式をどちらか一方の円の方程式に代入すると、1つの文字についての2次方程式が得られます。これを解いて出てくる2つの解が、2交点の $x$座標(または $y$座標)にあたり、それぞれを根軸の式に戻せば、もう一方の座標も求まります。例題2では2円の中心がどちらも直線 $y=1$ 上にあり半径も等しいという対称な特殊ケースだったため、根軸 $x=\dfrac52$ を求めた時点で終えましたが(実際に $x=\dfrac52$ をどちらかの円の式に代入すれば、$y$ についての2次方程式が得られ、それを解けば2つの交点の $y$座標が求まります)、一般にはこのように根軸の式を円の式に代入して2次方程式を解くところまで行うことで、交点の座標を具体的に求めることができます。

例題

例題1(基本)

問題

2円 $x^2+y^2=9$ と $(x-5)^2+y^2=4$ の位置関係を調べよ。

解答・解説を見る

それぞれの円の中心と半径を読み取ります。

  • 円1:$x^2+y^2=9$ は中心 $(0,0)$、半径 $r_1=3$
  • 円2:$(x-5)^2+y^2=4$ は中心 $(5,0)$、半径 $r_2=2$

中心間の距離 $d$ を、2点間の距離の公式で求めます。

$d=\sqrt{(5-0)^2+(0-0)^2}=\sqrt{25}=5$

半径の和と差を計算します。

$r_1+r_2=3+2=5,\qquad |r_1-r_2|=|3-2|=1$

$d=5$ は、ちょうど $r_1+r_2=5$ と一致しています。したがって、この2円は外接しています。

例題2(標準)

問題

2円 $x^2+y^2-2x-2y-2=0$ と $x^2+y^2-8x-2y+13=0$ の位置関係を調べよ。また、この2円が2点で交わっている場合は、その2交点を通る直線の方程式を求めよ。

解答・解説を見る

中心と半径を求める

円1:$x^2+y^2-2x-2y-2=0$ を平方完成します。

$x^2-2x=(x-1)^2-1,\qquad y^2-2y=(y-1)^2-1$

これらを代入すると、

$(x-1)^2-1+(y-1)^2-1-2=0\ \Longrightarrow\ (x-1)^2+(y-1)^2=4$

したがって、円1の中心は $(1,1)$、半径は $r_1=2$ です。

円2:$x^2+y^2-8x-2y+13=0$ を平方完成します。

$x^2-8x=(x-4)^2-16,\qquad y^2-2y=(y-1)^2-1$

これらを代入すると、

$(x-4)^2-16+(y-1)^2-1+13=0\ \Longrightarrow\ (x-4)^2+(y-1)^2=4$

したがって、円2の中心は $(4,1)$、半径は $r_2=2$ です。

位置関係を判定する

中心間の距離を求めます。

$d=\sqrt{(4-1)^2+(1-1)^2}=\sqrt{9}=3$

半径の和と差を計算します。

$r_1+r_2=2+2=4,\qquad |r_1-r_2|=|2-2|=0$

$0<3<4$ より $|r_1-r_2|2点で交わります。

交点を通る直線(根軸)を求める

円1の式から円2の式を引きます。

$(x^2+y^2-2x-2y-2)-(x^2+y^2-8x-2y+13)=0$

$x^2,y^2$ の項が消え、

$(-2x+8x)+(-2y+2y)+(-2-13)=0$

$6x-15=0$

両辺を $6$ で割ると、

$x=\frac{15}{6}=\frac52$

したがって、2交点を通る直線は $x=\dfrac52$ です(円1、円2の中心がどちらも $y=1$ 上にあり、半径も等しい($r_1=r_2=2$)ことから、根軸が2中心を結ぶ線分の垂直二等分線、つまり中心のちょうど中間の $x=\dfrac{1+4}{2}=\dfrac52$ になることとも一致しますね)。

例題3(応用)

問題

2円 $x^2+y^2=5$ と $x^2+y^2-2x-4y+3=0$ は2点 $\mathrm{A,B}$ で交わっている。この2点 $\mathrm{A,B}$ と、点 $(3,1)$ を通る円の方程式を求めよ。

解答・解説を見る

2点 $\mathrm{A,B}$ を通る円を、直接 $\mathrm{A,B}$ の座標を求めずに作ります。2円の式を $C_1=x^2+y^2-5$、$C_2=x^2+y^2-2x-4y+3$ とおくと、$\mathrm{A,B}$ ではどちらも $C_1=0$ かつ $C_2=0$ が成り立ちます。

$k\neq-1$ として、次の式を考えます。

$C_1+k\,C_2=0$

$(x^2+y^2-5)+k(x^2+y^2-2x-4y+3)=0$

この式は、$k$ の値によらず $\mathrm{A,B}$ を通ります。ここに、点 $(3,1)$ を通るという条件を使って $k$ を決めます。$x=3,\ y=1$ を代入します。

$C_1$ の値:$3^2+1^2-5=9+1-5=5$

$C_2$ の値:$3^2+1^2-2\times3-4\times1+3=9+1-6-4+3=3$

これらを代入すると、

$5+3k=0\ \Longrightarrow\ k=-\frac53$

$k=-\dfrac53$ は $k\neq-1$ を満たすので、この式は確かに円を表します。この $k$ を元の式に代入します。

$(x^2+y^2-5)-\frac53(x^2+y^2-2x-4y+3)=0$

両辺に $3$ をかけて分数を払います。

$3(x^2+y^2-5)-5(x^2+y^2-2x-4y+3)=0$

展開します。

$3x^2+3y^2-15-5x^2-5y^2+10x+20y-15=0$

同類項をまとめます。

$-2x^2-2y^2+10x+20y-30=0$

両辺を $-2$ で割って、$x^2,y^2$ の係数を $1$ にそろえます。

$x^2+y^2-5x-10y+15=0$

これが求める円の方程式です。

(検算)点 $(3,1)$ を代入すると、$9+1-15-10+15=0$ となり、確かに成り立っています。また、円1・円2の交点 $\mathrm{A,B}$ は、$x+2y-4=0$($C_1-C_2$ から得られる根軸)と $C_1=0$ を連立すると $(2,1)$ と $(-0.4,2.2)$ の2点であることが確かめられ、どちらも求めた円の式 $x^2+y^2-5x-10y+15=0$ を満たしています($(2,1)$:$4+1-10-10+15=0$、$(-0.4,2.2)$:$0.16+4.84+2-22+15=0$)。

例題4(発展)

問題

2円 $x^2+y^2-4x-2y+1=0$ と $x^2+y^2+2x-4y-4=0$ は2点 $\mathrm{A,B}$ で交わっている。この2点 $\mathrm{A,B}$ を通る円のうち、中心が直線 $x+y=0$ 上にあるものの方程式を求めよ。

解答・解説を見る

例題3では「もう1つの点を通る」という条件で $k$ を決めましたが、ここでは「中心が特定の直線上にある」という、位置に関する条件で $k$ を決めます。そのためには、円束の式の中心を、$k$ を使った式でいったん表す必要があります。

下準備:2円が2点で交わることを確認する

円1:$x^2+y^2-4x-2y+1=0$ を平方完成すると $(x-2)^2+(y-1)^2=4$ より、中心 $(2,1)$、半径 $r_1=2$。

円2:$x^2+y^2+2x-4y-4=0$ を平方完成すると $(x+1)^2+(y-2)^2=9$ より、中心 $(-1,2)$、半径 $r_2=3$。

中心間の距離は $d=\sqrt{(2-(-1))^2+(1-2)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$。$r_1+r_2=5$、$|r_1-r_2|=1$ で、$1<\sqrt{10}<5$ が成り立つので、確かに2点で交わっています。

円束の式を作る

2円の式を $C_1=x^2+y^2-4x-2y+1$、$C_2=x^2+y^2+2x-4y-4$ とおき、$k\neq-1$ として

$C_1+k\,C_2=0$

を考えます。展開して整理すると、

$(1+k)x^2+(1+k)y^2+(2k-4)x+(-4k-2)y+(1-4k)=0$

この式の中心を、$k$ を使った式で表す

円の方程式は、$x^2,y^2$ の係数を $1$ にそろえてから、$x,y$ の係数をそれぞれ $-2$ で割ると中心の座標になります。上の式の両辺を $(1+k)$ で割ると、

$x^2+y^2+\frac{2k-4}{1+k}x+\frac{-4k-2}{1+k}y+\frac{1-4k}{1+k}=0$

したがって、この円の中心の座標は、

$\left(-\frac12\times\frac{2k-4}{1+k},\ -\frac12\times\frac{-4k-2}{1+k}\right)=\left(\frac{2-k}{1+k},\ \frac{2k+1}{1+k}\right)$

「中心が直線 $x+y=0$ 上にある」という条件を使う

中心の $x$ 座標と $y$ 座標の和が $0$ になればよいので、

$\frac{2-k}{1+k}+\frac{2k+1}{1+k}=0$

分子どうしを足し合わせます。

$\frac{(2-k)+(2k+1)}{1+k}=\frac{k+3}{1+k}=0$

分数が $0$ になるのは分子が $0$ のときなので、

$k+3=0\ \Longrightarrow\ k=-3$

$k=-3$ は $k\neq-1$ を満たすので、この式は確かに円を表します。

$k=-3$ を代入して方程式を完成させる

$C_1-3C_2=(x^2+y^2-4x-2y+1)-3(x^2+y^2+2x-4y-4)=0$

展開します。

$x^2+y^2-4x-2y+1-3x^2-3y^2-6x+12y+12=0$

同類項をまとめます。

$-2x^2-2y^2-10x+10y+13=0$

両辺を $-2$ で割って、$x^2,y^2$ の係数を $1$ にそろえます。

$x^2+y^2+5x-5y-\frac{13}{2}=0$

これが求める円の方程式です。

(検算)この式の中心は $\left(-\dfrac52,\ \dfrac52\right)$ で、$x$座標と$y$座標の和は $-\dfrac52+\dfrac52=0$ となり、確かに直線 $x+y=0$ 上にあります。また、半径の2乗は $\left(\dfrac52\right)^2+\left(\dfrac52\right)^2+\dfrac{13}{2}=\dfrac{25}{4}+\dfrac{25}{4}+\dfrac{26}{4}=\dfrac{76}{4}=19$ となり、正の値になっている(実際に円が存在する)ことも確認できます。

練習問題

問題

2円 $x^2+y^2=10$ と $x^2+y^2-6x-2y+9=0$ が2点で交わることが分かっている。この2つの交点を通る直線の方程式を求めよ。

答え

2円の式を引き算すると、

$(x^2+y^2-10)-(x^2+y^2-6x-2y+9)=0$

$6x+2y-19=0$

問題

2円 $x^2+y^2=13$ と $x^2+y^2-4x-2y-3=0$ は2点で交わることが分かっている。この2つの交点と点 $(1,4)$ を通る円の方程式を求めよ。

答え

2円の式を $C_1=x^2+y^2-13$、$C_2=x^2+y^2-4x-2y-3$ とおく。$C_1+kC_2=0$ に点$(1,4)$を代入すると、$C_1(1,4)=1+16-13=4$、$C_2(1,4)=1+16-4-8-3=2$ より $4+2k=0$、$k=-2$。

これを代入して整理すると、

$(x^2+y^2-13)-2(x^2+y^2-4x-2y-3)=0$

$x^2+y^2-8x-4y+7=0$

問題

中心が点 $(8,6)$ である円 $C$ と、円 $x^2+y^2=9$ が内接するとき、円 $C$ の方程式を求めよ。

答え

円 $C$ の半径を $r$ とすると $C:(x-8)^2+(y-6)^2=r^2$。円 $x^2+y^2=9$ の中心は $(0,0)$、半径は $r'=3$。

中心間の距離は $d=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$。内接する条件 $d=|r-r'|$ より($r>r'$ なので)$10=r-3$、よって $r=13$。

$(x-8)^2+(y-6)^2=169$

問題

2つの円 $x^2+y^2=25$ と $x^2+y^2-7x-y=0$ の共有点の座標を求めよ。

答え

2円の式を引くと、$(x^2+y^2-25)-(x^2+y^2-7x-y)=0$ より $7x+y-25=0$、すなわち $y=-7x+25$。

これを $x^2+y^2=25$ に代入すると、$x^2+(-7x+25)^2=25$ より $50x^2-350x+600=0$、整理すると $x^2-7x+12=0$、$(x-3)(x-4)=0$ より $x=3,4$。

よって、共有点の座標は $(3,4)$ と $(4,-3)$。