数学II / 三角関数
三角方程式・不等式
要点整理
三角方程式の解き方の基本方針
$\sin\theta = a$ や $\cos\theta = a$、$\tan\theta = a$ のように、三角関数を含む方程式を三角方程式といいます。三角方程式を解くときは、単位円を使って、条件を満たす動径の位置を図でとらえるのが基本方針です。多くの問題では $0 \le \theta < 2\pi$ のように角の範囲が指定されているので、その範囲の中で答えをすべて求めます。
$\sin\theta = a$ を解く手順
- 単位円をかく。
- $\sin\theta$ は単位円上の点の $y$ 座標なので、直線 $y=a$ を引く。
- 単位円と直線 $y=a$ の交点を求め、原点からその交点に向かう動径が表す角 $\theta$ を、指定された範囲内ですべて読み取る。
$\cos\theta = a$ を解く手順
同様に、$\cos\theta$ は単位円上の点の $x$ 座標なので、直線 $x=a$ を引いて、単位円との交点に対応する角を求めます。
$\tan\theta = a$ を解く手順
$\tan\theta$ は、単位円上の点 $\mathrm{P}$ に対して、点 $(1,0)$ における単位円の接線(直線 $x=1$)上で、原点と点 $\mathrm{P}$ を結ぶ直線を延長した交点の $y$ 座標として読み取れます。実用的には、$\tan\theta=a$ となる基準の角を1つ見つけ、そこから $\pi$(半周期)ごとに解が繰り返し現れる、と考えると求めやすいです。
位相がずれた場合($A=\theta+c$ とおく置き換え)
$\sin(\theta+c)=a$ や $\cos(\theta+c)=a$ のように、角の中身が $\theta$ そのものではなく $\theta+c$($c$ は定数)になっている方程式もよく出題されます。このときも $A=\theta+c$ とおいて置き換えるのが基本ですが、置き換えたあとの$A$ の範囲の決め方に注意が必要です。
$A$ の範囲は「ずれた場所」から始まる
$\theta$ が $0\le\theta<2\pi$ を動くとき、$A=\theta+c$ の各辺に $c$ を加えると、$A$ が動く範囲は
$c \le A < 2\pi + c$
となります。つまり、範囲の幅は $2\pi$ のまま変わりませんが、開始地点が $0$ ではなく $c$ にずれます。
後の例題4($t=2\theta$ の場合)との違いに注意
例題4のように角を定数倍する置き換え($t=2\theta$)では、範囲は $0\le t<4\pi$ となり、開始地点は $0$ のまま、範囲の幅が $2$ 倍に広がりました。
一方、今回のように角をずらす置き換え($A=\theta+c$)では、範囲は $c\le A<2\pi+c$ となり、範囲の幅は $2\pi$ のままで、開始地点が $c$ だけずれます。
どちらの場合も「置き換えた文字の範囲を、もとの $0\le\theta<2\pi$ のまま使ってはいけない」という点は共通していますが、範囲が変わる理由(幅が広がるのか、開始地点がずれるのか)がまったく違います。この違いを混同すると、答えの角を落としたり、逆に範囲外の角を答えに含めてしまったりするミスにつながるので、必ず区別して考えましょう。
解き方の手順
- $A=\theta+c$ とおき、$A$ の範囲を $c\le A<2\pi+c$ と定める。
- まず基本の範囲 $0\le A<2\pi$ で方程式(例えば $\sin A=a$)を解く。
- 得られた解が $c\le A<2\pi+c$ に入っているか、1つずつ確認する。範囲より小さい解には $2\pi$ を加え、範囲より大きい解には $2\pi$ を引いて、範囲内に入れ直す。
- 範囲内に収まった $A$ の値から、$\theta=A-c$ として $\theta$ に戻す。
具体例:$2\sin\!\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)=1$($0\le\theta<2\pi$)を解く
両辺を $2$ で割ると
$\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$
$A=\theta+\dfrac{\pi}{3}$ とおきます。$0\le\theta<2\pi$ より、各辺に $\dfrac{\pi}{3}$ を加えて
$\frac{\pi}{3} \le A < 2\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{3}$
まず基本の範囲 $0\le A<2\pi$ で $\sin A=\dfrac{1}{2}$ を解くと、$A=\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{5\pi}{6}$ です。
これらが $\dfrac{\pi}{3}\le A<\dfrac{7\pi}{3}$ に入っているか確認します。
- $A=\dfrac{\pi}{6}$ は $\dfrac{\pi}{3}\left(=\dfrac{2\pi}{6}\right)$ より小さいので、範囲に入っていません。$2\pi$ を加えると $\dfrac{\pi}{6}+2\pi=\dfrac{13\pi}{6}$ となり、これは $\dfrac{7\pi}{3}\left(=\dfrac{14\pi}{6}\right)$ より小さいので範囲内です。
- $A=\dfrac{5\pi}{6}$ はそのまま $\dfrac{\pi}{3}\le A<\dfrac{7\pi}{3}$ の範囲に入っています。
よって、範囲内の $A$ の値は $A=\dfrac{5\pi}{6},\ \dfrac{13\pi}{6}$ です。
最後に $\theta=A-\dfrac{\pi}{3}$ として $\theta$ に戻します。
$\theta = \frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{6}-\frac{2\pi}{6}=\frac{3\pi}{6}=\frac{\pi}{2}$
$\theta = \frac{13\pi}{6}-\frac{\pi}{3}=\frac{13\pi}{6}-\frac{2\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}$
答え: $\theta = \dfrac{\pi}{2}, \ \dfrac{11\pi}{6}$
三角不等式の解き方の基本方針
$\sin\theta > a$ のような不等式も、単位円を使って考えます。例えば $\sin\theta > a$ を解くときは、まず $\sin\theta = a$ となる境界の角を求め、単位円上で $y$ 座標が $a$ より大きくなる弧の範囲(動径がどこからどこまで動けばよいか)を読み取ります。$\cos\theta$ の不等式も同様に、$x$ 座標に注目して考えます。
不等式では「その境界の角を含むかどうか」(等号を含むかどうか)にも注意しましょう。
例題
例題1(基本)
問題 $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、方程式 $\sin\theta = \dfrac{1}{2}$ を解きなさい。
解答・解説を見る
単位円をかき、直線 $y=\dfrac{1}{2}$ を引きます。この直線と単位円の交点は2つあり、それぞれ第1象限と第2象限にあります。
$\sin\theta=\dfrac{1}{2}$ となる基本の角は $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ です($30°$ にあたる有名角)。単位円で $y=\dfrac{1}{2}$ となるもう1つの交点は、$y$ 軸に関して(正確には $\theta=\dfrac{\pi}{2}$ の位置を基準に)対称な位置にあり、角度としては
$\theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$
の位置になります。この2つ以外に、$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で $\sin\theta=\dfrac{1}{2}$ となる角はありません。
答え: $\theta = \dfrac{\pi}{6}, \ \dfrac{5\pi}{6}$
例題2(標準)
問題 $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、方程式 $2\cos\theta + \sqrt{3} = 0$ を解きなさい。
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まず $\cos\theta$ について解きます。両辺から $\sqrt{3}$ を引くと、
$2\cos\theta = -\sqrt{3}$
両辺を $2$ で割ると、
$\cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
単位円で $x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ となる点を探します。$\cos\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ となる基本の角は $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ なので、符号が負になる($x$座標が負になる)のは第2象限と第3象限です。
- 第2象限: $\theta = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}$
- 第3象限: $\theta = \pi + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{7\pi}{6}$
答え: $\theta = \dfrac{5\pi}{6}, \ \dfrac{7\pi}{6}$
例題3(応用)
問題 $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\sin\theta \ge \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ を解きなさい。
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まず境界となる方程式 $\sin\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ を解きます。基本の角は $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ で、もう1つの解は
$\theta = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$
です。
次に、単位円上で $y$ 座標が $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 以上になる部分を考えます。単位円の一番上の点($\theta=\dfrac{\pi}{2}$、$y$座標は最大値の $1$)を含む、$\theta=\dfrac{\pi}{4}$ から $\theta=\dfrac{3\pi}{4}$ までの弧の部分で、$y$ 座標が $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 以上になります。不等号に等号が含まれているので、境界の角 $\theta=\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3\pi}{4}$ 自身も含みます。
答え: $\dfrac{\pi}{4} \le \theta \le \dfrac{3\pi}{4}$
例題4(発展)
問題 $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、方程式 $\sin2\theta = \dfrac{\sqrt3}{2}$ を解きなさい。
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$t=2\theta$ とおいて範囲を広げる
$t=2\theta$ とおくと、$\theta$ が $0\le\theta<2\pi$ を動くとき、$t$ は
$0 \le t < 4\pi$
の範囲を動きます(角の範囲が2倍に広がることに注意します)。方程式は $\sin t=\dfrac{\sqrt3}{2}$ になります。
広げた範囲で $t$ の解をすべて求める
まず $0\le t<2\pi$(1周目)の範囲で $\sin t=\dfrac{\sqrt3}{2}$ を解くと、基本の角は $t=\dfrac{\pi}{3}$ で、もう1つは $t=\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}$ です。
範囲は $4\pi$ まで、つまり2周分あるので、2周目($2\pi\le t<4\pi$)の解も、1周目の解にそれぞれ $2\pi$ を加えて求めます。
$t = \frac{\pi}{3}, \ \frac{2\pi}{3}, \ \frac{\pi}{3}+2\pi=\frac{7\pi}{3}, \ \frac{2\pi}{3}+2\pi=\frac{8\pi}{3}$
$\theta$ に戻す
$t=2\theta$ だったので、$\theta=\dfrac{t}{2}$ として、それぞれを2でわります。
$\theta = \frac{\pi}{6}, \ \frac{\pi}{3}, \ \frac{7\pi}{6}, \ \frac{4\pi}{3}$
いずれも $0\le\theta<2\pi$ の範囲に収まっています。
答え: $\theta = \dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{7\pi}{6},\ \dfrac{4\pi}{3}$
練習問題
問題 $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式・不等式を解きなさい。 (1) $\tan\theta = -1$ (2) $\cos\theta < -\dfrac{1}{2}$
答え
(1) $\tan\theta=-1$ の基本の角は $\theta=\dfrac{3\pi}{4}$(第2象限)。$\tan$ の周期は $\pi$ なので、もう1つの解は $\dfrac{3\pi}{4}+\pi=\dfrac{7\pi}{4}$(第4象限)。よって $\theta=\dfrac{3\pi}{4}, \dfrac{7\pi}{4}$
(2) $\cos\theta=-\dfrac{1}{2}$ の解は $\theta=\dfrac{2\pi}{3}, \dfrac{4\pi}{3}$。$x$座標がこれより小さい(左側にある)範囲を考えて、$\dfrac{2\pi}{3} < \theta < \dfrac{4\pi}{3}$
問題 $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、方程式 $\tan2\theta=1$ を解きなさい。
答え
$\theta=\dfrac{\pi}{8},\ \dfrac{5\pi}{8},\ \dfrac{9\pi}{8},\ \dfrac{13\pi}{8}$
簡単な解説
$t=2\theta$ とおくと $0\le t<4\pi$。$\tan t=1$ の基本の角は $t=\dfrac{\pi}{4}$ で、$\tan$ の周期は $\pi$ なので、$t=\dfrac{\pi}{4}+k\pi$($k=0,1,2,3$)、つまり $t=\dfrac{\pi}{4},\dfrac{5\pi}{4},\dfrac{9\pi}{4},\dfrac{13\pi}{4}$。$\theta=\dfrac{t}{2}$ より上の答えが得られる。
問題 $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、方程式 $2\cos\left(\theta+\dfrac{2\pi}{3}\right)=1$ を解きなさい。
答え
$\theta=\pi,\ \dfrac{5\pi}{3}$
簡単な解説
両辺を $2$ で割ると $\cos\left(\theta+\dfrac{2\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}$。$A=\theta+\dfrac{2\pi}{3}$ とおくと、範囲は $\dfrac{2\pi}{3}\le A<2\pi+\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{8\pi}{3}$。
基本の範囲 $0\le A<2\pi$ で $\cos A=\dfrac{1}{2}$ を解くと $A=\dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{5\pi}{3}$。$\dfrac{\pi}{3}$ は $\dfrac{2\pi}{3}$ より小さく範囲外なので $2\pi$ を加えて $\dfrac{\pi}{3}+2\pi=\dfrac{7\pi}{3}$(範囲内)。$\dfrac{5\pi}{3}$ はそのまま範囲内。よって $A=\dfrac{5\pi}{3},\ \dfrac{7\pi}{3}$。
$\theta=A-\dfrac{2\pi}{3}$ より、$\theta=\dfrac{5\pi}{3}-\dfrac{2\pi}{3}=\pi$、$\theta=\dfrac{7\pi}{3}-\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{5\pi}{3}$。