総合演習

単元の組み合わせ: (1)は図形と計量の面積公式、(2)は二次関数の平方完成、(3)は再び図形と計量の余弦定理を使います。

(1)

三角形の面積公式(2辺の長さとその間の角がわかっているときに使える公式)は、

$S = \frac{1}{2}\times AB \times AC \times \sin A$

でした。$AB=x$、$AC=6-x$、$\angle A=60^{\circ}$ を代入します。$\sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt3}{2}$ なので、

$S = \frac{1}{2}\,x(6-x)\times\frac{\sqrt3}{2} = \frac{\sqrt3}{4}\,x(6-x)$

(2)

ここからは $x(6-x)$ の部分を2次関数とみなして、最大値を考えます。展開すると

$x(6-x) = -x^2+6x$

これを平方完成します。$x^2$ の係数 $-1$ でくくり出すと、

$-x^2+6x = -(x^2-6x) = -\left[(x-3)^2-9\right] = -(x-3)^2+9$

$(x-3)^2 \ge 0$ なので、$-(x-3)^2 \le 0$ であり、

$x(6-x) = -(x-3)^2+9 \le 9$

等号(イコールが成り立つの)は $x=3$ のときです。$0

したがって、

$S = \frac{\sqrt3}{4}\,x(6-x) \le \frac{\sqrt3}{4}\times 9 = \frac{9\sqrt3}{4}$

$S$ の最大値は $x=3$ のとき $\dfrac{9\sqrt3}{4}$ です。

(3)

$x=3$ のとき $AB=3$、$AC=6-3=3$ なので、$AB=AC=3$ の二等辺三角形です。余弦定理

$BC^2 = AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos A$

に $AB=3$、$AC=3$、$\cos60^{\circ}=\dfrac12$ を代入すると、

$BC^2 = 3^2+3^2-2\times3\times3\times\frac12 = 9+9-9=9$

$BC>0$ なので $BC=3$ です。

$AB=AC=BC=3$ となり、実は正三角形(1辺60°の角をもつ二等辺三角形は正三角形になります)であったことがわかります。1辺 $3$ の正三角形の面積は、公式 $\dfrac{\sqrt3}{4}a^2$ に $a=3$ を代入すると $\dfrac{\sqrt3}{4}\times9=\dfrac{9\sqrt3}{4}$ となり、(2)の答えとぴったり一致します。これは検算としても使えます。

答え:(1) $S=\dfrac{\sqrt3}{4}x(6-x)$ (2) $x=3$ のとき最大値 $\dfrac{9\sqrt3}{4}$ (3) $BC=3$

単元の組み合わせ: $f(a)$ を $a$ の二次関数とみなして平方完成で最小値を求め、その結果をデータの分析の代表値・分散と結びつける問題です。

(1)

$(x_i-a)^2 = x_i^2-2ax_i+a^2$ の形を使って、5つの項をすべて展開します。

$f(a) = \sum(x_i^2-2ax_i+a^2) = \left(\sum x_i^2\right) - 2a\left(\sum x_i\right) + 5a^2$

ここで、$\sum x_i = 3+5+6+8+10=32$、$\sum x_i^2 = 3^2+5^2+6^2+8^2+10^2 = 9+25+36+64+100=234$ です。したがって、

$f(a) = 5a^2 - 64a + 234$

これを平方完成します。$a^2$ の係数 $5$ でくくり出すと、

$f(a) = 5\left(a^2-\frac{64}{5}a\right)+234$

かっこの中を平方完成します。$\left(a-\dfrac{32}{5}\right)^2 = a^2-\dfrac{64}{5}a+\dfrac{1024}{25}$ なので、

$a^2-\frac{64}{5}a = \left(a-\frac{32}{5}\right)^2-\frac{1024}{25}$

これを代入すると、

$f(a) = 5\left[\left(a-\frac{32}{5}\right)^2-\frac{1024}{25}\right]+234 = 5\left(a-\frac{32}{5}\right)^2-\frac{1024}{5}+234$

$234=\dfrac{1170}{5}$ なので、$-\dfrac{1024}{5}+\dfrac{1170}{5}=\dfrac{146}{5}$ となり、

$f(a) = 5\left(a-\frac{32}{5}\right)^2+\frac{146}{5}$

(2)

$\left(a-\dfrac{32}{5}\right)^2 \ge 0$ なので、$f(a)$ は $a=\dfrac{32}{5}$ のときに最小値 $\dfrac{146}{5}$ をとります。$\dfrac{32}{5}=6.4$、$\dfrac{146}{5}=29.2$ です。

(3)

$\dfrac{32}{5}=6.4$ は、5人の得点の平均値です。実際、$(3+5+6+8+10)\div5 = 32\div5=6.4$ となり一致します。

これは偶然ではありません。$f(a)$ は「各データと $a$ との差の2乗の和」を表しているので、$f(a)$ を最小にする $a$ を求める、というのは「データ全体から一番『距離』が近くなる基準点を探す」ことに相当します。そして、その基準点はちょうど平均値になる、というのが今回の計算からわかった事実です。

さらに、(2)の最小値 $29.2$ を $5$ で割ると、

$\frac{29.2}{5} = 5.84$

これは、このデータの分散の値と一致します。分散の定義は $\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum(x_i-\bar x)^2$(各データと平均値との差の2乗の平均)でした。今回、$f(a)$ の $a$ に平均値 $\bar x=6.4$ を代入した値がまさに $\displaystyle\sum(x_i-\bar x)^2$ であり、それを $5$ で割ったものが分散の定義そのものだからです。

つまりこの問題は、「平均値は、データ全体との差の2乗の和を最小にする値である」「その最小の和を個数で割ったものが分散である」という、データの分析の背後にある2次関数的な仕組みを確かめる問題でした。

答え:(1) $f(a)=5\left(a-\dfrac{32}{5}\right)^2+\dfrac{146}{5}$ (2) $a=\dfrac{32}{5}(=6.4)$ のとき最小値 $\dfrac{146}{5}(=29.2)$ (3) 平均値/分散(理由は解説の通り)

単元の組み合わせ: 二次関数の判別式・解の公式を使って $P$ の条件を求め、それを数と式で学んだ必要条件・十分条件の判定に応用する問題です。

(1)

2次方程式 $x^2-4x+k=0$ に解の公式を使うと、

$x = \frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\times1\times k}}{2\times1} = \frac{4\pm\sqrt{16-4k}}{2} = 2\pm\sqrt{4-k}$

「異なる2つの正の実数解をもつ」ためには、次の2つの条件が両方とも必要です。

条件(i):実数解が異なる2つ存在すること

根号の中身が正でなければ実数として異なる2つの値になりません。

$4-k>0 \quad\Longrightarrow\quad k<4$

条件(ii):2つの解がどちらも正であること

2つの解は $2+\sqrt{4-k}$ と $2-\sqrt{4-k}$ です。$\sqrt{4-k}\ge0$ なので、大きいほうの解 $2+\sqrt{4-k}$ は常に $2$ 以上であり、自動的に正です。したがって、小さいほうの解 $2-\sqrt{4-k}$ が正であることさえ確認すればよいことになります。

$2-\sqrt{4-k}>0 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{4-k}<2$

両辺とも $0$ 以上なので、2乗しても不等号の向きは変わりません。

$4-k<4 \quad\Longrightarrow\quad k>0$

条件(i)の $k<4$ と条件(ii)の $k>0$ を同時に満たす範囲を求めると、

$0

(2)

(1)より、命題 $P$「異なる2つの正の実数解をもつ」が成り立つための条件は、ちょうど $0

$P$ が成り立つ($0

一方、$Q$ が成り立つ($k<4$)からといって、$P$ が成り立つとは限りません。たとえば $k=-3$ は $Q$($-3<4$)を満たしますが、$P$(異なる2つの正の実数解をもつ)は満たしません。実際、$k=-3$ のとき方程式は $x^2-4x-3=0$ となり、解は $x=2\pm\sqrt7$ です。$\sqrt7 \approx 2.65$ なので、小さいほうの解 $2-\sqrt7 \approx -0.65$ は負になってしまい、「2つとも正」という条件を満たしません。したがって $Q\Rightarrow P$ は偽であり、$k=-3$ がその反例です。

$P\Rightarrow Q$ は真だが $Q\Rightarrow P$ は偽なので、$P$ は $Q$ であるための十分条件だが必要条件ではない条件です。

答え:(1) $0