公式の証明・導出
円に内接する四角形の性質(トレミーの定理)の証明
関連単元: 数学A 図形の性質
証明する内容
四角形ABCDが1つの円に内接しており、4つの頂点A、B、C、Dは、この順(円周上をA→B→C→Dの向きにたどる順序)に並んでいるとします。このとき、2本の対角線の長さの積 $AC\times BD$ は、対辺の長さの積の和 $AB\times CD+AD\times BC$ に等しくなります。
$ AC\times BD = AB\times CD + AD\times BC $
これをトレミーの定理と呼びます。この証明では、対角線AC上に補助点をとり、その点を使ってできる2組の相似な三角形から、この等式を導きます。
証明
ステップ1:対角線AC上に、補助点Kをとる
対角線AC上に、次の条件を満たす点Kをとります。
$ \angle ABK = \angle DBC $
このような点Kが、線分ACの内部(AとCの間)にとれることを確認します。四角形ABCDは円に内接する凸四角形なので、対角線BDは四角形の内部を通り、頂点Bにおける角ABCを、2つの角 $\angle ABD$ と $\angle DBC$ に分けています。
$ \angle ABC = \angle ABD+\angle DBC $
したがって $\angle DBC$ は $\angle ABC$ より小さい角です($\angle ABD>0$ であるため)。このことから、辺BAから測って角度 $\angle DBC$ の位置にある半直線(角ABCの内部を通る半直線)は、必ず線分ACのどこかの点で交わります。この交点をKとします。
Kが線分AC上の点であることから、$\angle ABK+\angle KBC=\angle ABC$ が成り立ちます。これと $\angle ABK=\angle DBC$、および上で確認した $\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC$ を組み合わせると、
$ \angle KBC = \angle ABC-\angle ABK = (\angle ABD+\angle DBC)-\angle DBC = \angle ABD $
したがって、次の関係も同時に得られます。
$ \angle KBC = \angle ABD \quad \cdots ① $
ステップ2:円周角の定理から、2組の角の等しさを確認する
4点A、B、C、Dがこの順に円周上に並んでいることから、円周角の定理を使って、2つの角の等式を用意します。
弦BCに対する円周角:弦BCが円を2つの弧に分けるとき、A、B、C、Dがこの順に並んでいるので、点Aと点Dは、弦BCに対して同じ側の弧の上にあります(弦BCを含まない側の弧に、AとDの両方が乗っています)。円周角の定理より、同じ弧に対する円周角は等しいので、
$ \angle BAC = \angle BDC \quad \cdots ② $
弦ABに対する円周角:同じように、弦ABに対して、点Cと点Dは同じ側の弧の上にあります。円周角の定理より、
$ \angle ADB = \angle ACB \quad \cdots ③ $
ステップ3:三角形ABKと三角形DBCが相似であることを示す
三角形ABKと三角形DBCについて、対応する角を比べます。
- Kは線分AC上の点なので、$\angle BAK$ と $\angle BAC$ は同じ角です。②より $\angle BAC=\angle BDC$ なので、$\angle BAK=\angle BDC$
- ステップ1の構成そのものより、$\angle ABK=\angle DBC$
2組の角がそれぞれ等しいので、三角形ABKと三角形DBCは相似です(対応する頂点は A↔D、B↔B、K↔C)。相似な三角形では対応する辺の比がすべて等しいので、
$ \frac{AB}{DB} = \frac{BK}{BC} = \frac{AK}{DC} $
この式のうち、$\dfrac{AB}{DB}=\dfrac{AK}{DC}$ の部分に注目し、両辺に $DB\times DC$ をかけます。
$ AB\times DC = DB\times AK \quad \cdots ④ $
ステップ4:三角形ABDと三角形KBCが相似であることを示す
三角形ABDと三角形KBCについて、対応する角を比べます。
- ①より、$\angle ABD=\angle KBC$
- Kは線分AC上の点なので、$\angle ACB$ と $\angle KCB$ は同じ角です。③より $\angle ADB=\angle ACB$ なので、$\angle ADB=\angle KCB$
2組の角がそれぞれ等しいので、三角形ABDと三角形KBCは相似です(対応する頂点は A↔K、B↔B、D↔C)。相似な三角形では対応する辺の比がすべて等しいので、
$ \frac{AB}{KB} = \frac{BD}{BC} = \frac{AD}{KC} $
この式のうち、$\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{AD}{KC}$ の部分に注目し、両辺に $BC\times KC$ をかけます。
$ BD\times KC = AD\times BC \quad \cdots ⑤ $
ステップ5:④と⑤を辺々足し合わせる
④の式 $AB\times DC=DB\times AK$ と、⑤の式 $BD\times KC=AD\times BC$ を、左辺どうし・右辺どうし、それぞれ足し合わせます。
$ AB\times DC + BD\times KC = DB\times AK + AD\times BC $
右辺の項を並べ替え、左辺には $DB\times KC$ の代わりに $BD\times KC$(同じ量)であることに注意して整理すると、
$ AB\times CD + AD\times BC = DB\times AK + DB\times KC $
右辺は、$DB$(すなわちBD)が共通因数なので、くくり出せます。
$ AB\times CD + AD\times BC = BD\times(AK+KC) $
ステップ6:$AK+KC=AC$ を使って結論を得る
Kは線分ACの内部の点(AとCの間にある点)なので、AからKまでの長さと、KからCまでの長さを合わせると、ちょうどAC全体の長さになります。
$ AK+KC = AC $
これをステップ5の式に代入すると、
$ AB\times CD + AD\times BC = BD\times AC = AC\times BD $
これで、証明したかった等式
$ AC\times BD = AB\times CD + AD\times BC $
が示されました。
この証明のポイント
この証明の工夫は、対角線ACの上に、ちょうどよい位置(角度の条件 $\angle ABK=\angle DBC$ を満たす位置)に補助点Kを置くことで、四角形全体を2組の相似な三角形(ABKとDBC、ABDとKBC)に分解できる点にあります。それぞれの相似から得られる等式には、どちらも対角線BDの長さがそのままの形で登場するため、2つの式を足し合わせるだけで、右辺に共通因数としてBDをくくり出すことができ、最後は $AK+KC=AC$ という線分の足し算だけで証明が完成します。「補助線(補助点)を1つ加えることで、複雑な図形を扱いやすい相似な三角形の組に分解する」という発想は、方べきの定理や角の二等分線の性質など、円や三角形が絡む多くの図形の証明で繰り返し使われる基本戦略です。