公式の証明・導出
放物線と直線で囲まれた面積の公式(1/6公式)の証明
関連単元: 数学II 微分・積分の考え
証明する内容
2つの曲線$y=f(x)$、$y=g(x)$が、$x=\alpha$と$x=\beta$($\alpha<\beta$)のちょうど2点だけで交わっているとします。差$h(x)=f(x)-g(x)$が、
$h(x) = a(x-\alpha)(x-\beta) \qquad (a\neq0)$
の形に書ける($h(x)$が2次式で、$\alpha,\beta$を解にもつ)とき、この2曲線で囲まれた図形の面積$S$は、次の式で求められます。
$S = \frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3$
これが、通称「$\dfrac16$公式」です。この証明では、定積分$\displaystyle\int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)\,dx$を実際に計算することで、この公式を導きます。
証明
ステップ1:h(x)の符号を確認する
まず、$\alpha $x-\alpha>0, \qquad x-\beta<0$ なので、$(x-\alpha)(x-\beta)$は「正の数×負の数」で、常に負になります。したがって、$h(x)=a\times(\text{負の数})$の符号は、$a>0$なら負、$a<0$なら正となり、いずれにしても、$\alpha これは、$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフが、$x=\alpha$から$x=\beta$までの間、常にどちらか一方が上、もう一方が下になっている(交差しない)ことを意味しています。したがって、この区間で囲まれた図形の面積は、 $S = \int_\alpha^\beta |h(x)|\,dx = |a|\int_\alpha^\beta|(x-\alpha)(x-\beta)|\,dx$ で求められます。さらに、$(x-\alpha)(x-\beta)$は区間内で常に負なので、絶対値を外すときに符号を反転させて、 $S = |a|\int_\alpha^\beta\bigl\{-(x-\alpha)(x-\beta)\bigr\}\,dx = -|a|\int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)\,dx \quad \cdots ①$ となります(この段階で、あとは$\displaystyle\int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)\,dx$さえ計算できれば、面積が求められることになりました)。 $\displaystyle\int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)\,dx$を計算します。$t=x-\alpha$とおくと、$x=t+\alpha$、$dx=dt$です。積分区間も置き換えます。$x=\alpha$のとき$t=0$、$x=\beta$のとき$t=\beta-\alpha$です。この$\beta-\alpha$を、以後$h$という文字で表すことにします($h=\beta-\alpha>0$、$\alpha<\beta$より)。 また、$x-\beta$も$t$の式に書き換えます。 $x-\beta = (t+\alpha)-\beta = t-(\beta-\alpha) = t-h$ したがって、 $\int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)\,dx = \int_0^h t(t-h)\,dt$ 被積分関数を展開します。 $t(t-h) = t^2-ht$ 積分を計算します。 $\int_0^h(t^2-ht)\,dt = \left[\frac{t^3}{3}-\frac{ht^2}{2}\right]_0^h$ $t=h$を代入した値から$t=0$を代入した値($0$)を引きます。 $= \frac{h^3}{3}-\frac{h\times h^2}{2}-0 = \frac{h^3}{3}-\frac{h^3}{2}$ 通分して計算します。分母を$6$にそろえると、 $\frac{h^3}{3} = \frac{2h^3}{6}, \qquad \frac{h^3}{2} = \frac{3h^3}{6}$ なので、 $\frac{2h^3}{6}-\frac{3h^3}{6} = -\frac{h^3}{6}$ $h=\beta-\alpha$に戻すと、 $\int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)\,dx = -\frac{(\beta-\alpha)^3}{6} \quad \cdots ②$ ②を①に代入します。 $S = -|a|\times\left(-\frac{(\beta-\alpha)^3}{6}\right) = \frac{|a|(\beta-\alpha)^3}{6} = \frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3$ これで、1/6公式 $S = \frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3$ が証明できました。 この公式は、主に次の2つの状況で使われます。 放物線と直線:放物線$y=f(x)$($x^2$の係数が$a$)と直線$y=g(x)$が$x=\alpha,\beta$で交わるとき、$h(x)=f(x)-g(x)$は、直線の部分($g(x)$)が1次式以下なので$x^2$の係数に影響せず、$h(x)$の$x^2$の係数はやはり$a$になります。$h(x)$は$\alpha,\beta$を解にもつ2次式なので$h(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)$の形になり、そのまま1/6公式が使えます。 2つの放物線:放物線$y=f(x)$($x^2$の係数$a_1$)と放物線$y=g(x)$($x^2$の係数$a_2$、$a_1\neq a_2$)が$x=\alpha,\beta$で交わるとき、$h(x)=f(x)-g(x)$の$x^2$の係数は$a_1-a_2$になります。この場合は、1/6公式の$a$を$a_1-a_2$に置き換えて、 $S = \frac{|a_1-a_2|}{6}(\beta-\alpha)^3$ として使います。 入試では、交点の座標$\alpha,\beta$を具体的に求めずに、この公式をさらに速く使う工夫がよく使われます。$h(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)=0$、つまり$ax^2+bx+c=0$(展開した形)の判別式を$D=b^2-4ac$とすると、解と係数の関係より$\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}$、$\alpha\beta=\dfrac{c}{a}$なので、 $(\beta-\alpha)^2 = (\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta = \left(-\frac{b}{a}\right)^2-4\times\frac{c}{a} = \frac{b^2}{a^2}-\frac{4c}{a} = \frac{b^2-4ac}{a^2} = \frac{D}{a^2}$ $\beta>\alpha$より$\beta-\alpha>0$なので、 $\beta-\alpha = \frac{\sqrt D}{|a|}$ これを1/6公式に代入すると、 $S = \frac{|a|}{6}\left(\frac{\sqrt D}{|a|}\right)^3 = \frac{|a|}{6}\times\frac{D\sqrt D}{|a|^3} = \frac{D\sqrt D}{6a^2}$ つまり、$\alpha,\beta$を実際に求めなくても、判別式$D$と係数$a$さえ分かれば、 $S = \frac{D\sqrt D}{6a^2}$ という式から直接面積を計算できます。特に、$\alpha,\beta$が無理数になるような問題(交点の座標が汚い数になる場合)で威力を発揮し、試験本番での検算を大幅に短縮できます。 「定積分」のトピックで扱った例題(曲線$y=x^2$と直線$y=x+2$で囲まれた面積)で確認します。$h(x)=x^2-(x+2)=x^2-x-2$なので、$a=1,b=-1,c=-2$です。 1/6公式(交点から):$x^2-x-2=0$を解くと$(x-2)(x+1)=0$より$x=-1,2$、つまり$\alpha=-1,\beta=2$です。$\beta-\alpha=3$なので、 $S = \frac{|1|}{6}\times3^3 = \frac{27}{6} = \frac92$ 判別式から(ステップ5の時短公式):$D=b^2-4ac=(-1)^2-4\times1\times(-2)=1+8=9$なので、 $S = \frac{D\sqrt D}{6a^2} = \frac{9\times\sqrt9}{6\times1^2} = \frac{9\times3}{6} = \frac{27}{6} = \frac92$ どちらの方法でも$S=\dfrac92$と、同じ答えが得られました。 この証明のポイントは2つあります。1つは、$t=x-\alpha$という置換によって、$\int(x-\alpha)(x-\beta)\,dx$という積分を、$\int t(t-h)\,dt$という原点を基準にしたシンプルな積分に変換したことです。2つ目は、$\alphaステップ2:置換 t=x-α で積分を計算する
ステップ3:1/6公式を完成させる
ステップ4:2通りの典型的な使い方
ステップ5:判別式を使った検算の時短テクニック
ステップ6:検算
この証明のポイント