公式の証明・導出
双曲線の定義と方程式の導出
関連単元: 数学C 平面上の曲線と複素数平面
証明する内容
$x$軸上の2点 $F(c,0)$、$F'(-c,0)$($c>0$)を考えます。この2点を焦点と呼びます。正の定数 $a$($0 $
|PF-PF'| = 2a
$ を満たす点全体が描く図形を双曲線と呼びます。ここで $PF$、$PF'$ はそれぞれ、点 $P$ から焦点 $F$、$F'$ までの距離を表します。絶対値がついているのは、$F$ に近い側の点では $PF'-PF=2a$、$F'$ に近い側の点では $PF-PF'=2a$ となり、この定義がどちらの場合もまとめて扱っているためです。 この定義から出発して、$b^2=c^2-a^2$ とおくと、この双曲線は座標 $(x,y)$ に関する方程式 $
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} = 1
$ を満たすことを示します。これが、双曲線の標準形と呼ばれる方程式です。 まず、点$P$が$F$に近い側にある場合、つまり $PF'>PF$ で $PF'-PF=2a$ が成り立つ場合を考えます。点$P$の座標を$(x,y)$とします。2点間の距離の公式(三平方の定理)を使うと、 $
PF = \sqrt{(x-c)^2+y^2}, \qquad PF' = \sqrt{(x+c)^2+y^2}
$ です。条件 $PF'-PF=2a$ に、これらを代入すると、 $
\sqrt{(x+c)^2+y^2} - \sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2a
$ という方程式が得られます。楕円のときと同じように、この式には根号が2つあるので、順番に外していきます。 左辺の $-\sqrt{(x-c)^2+y^2}$ の項を、右辺に移項します。 $
\sqrt{(x+c)^2+y^2} = 2a+\sqrt{(x-c)^2+y^2}
$ 両辺を2乗します。左辺は、 $
\left(\sqrt{(x+c)^2+y^2}\right)^2 = (x+c)^2+y^2
$ 右辺は、$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$ の公式($A=2a$、$B=\sqrt{(x-c)^2+y^2}$)を使って、 $
\left(2a+\sqrt{(x-c)^2+y^2}\right)^2 = 4a^2+4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+\left((x-c)^2+y^2\right)
$ したがって、 $
(x+c)^2+y^2 = 4a^2+4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+(x-c)^2+y^2
$ という式が得られます。 $(x+c)^2$ と $(x-c)^2$ を展開します。 $
(x+c)^2 = x^2+2cx+c^2, \qquad (x-c)^2 = x^2-2cx+c^2
$ これらを代入すると、 $
x^2+2cx+c^2+y^2 = 4a^2+4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+x^2-2cx+c^2+y^2
$ 両辺から、共通する $x^2+c^2+y^2$ を引きます。 $
2cx = 4a^2+4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}-2cx
$ 右辺の $-2cx$ を左辺に移項します。 $
2cx+2cx = 4a^2+4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}
$ $
4cx = 4a^2+4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}
$ 両辺を$4$で割ります。 $
cx = a^2+a\sqrt{(x-c)^2+y^2}
$ 根号の項だけを右辺に残し、それ以外を左辺に集めます。 $
cx-a^2 = a\sqrt{(x-c)^2+y^2}
$ これで、根号が1つだけの式になりました。 両辺を2乗します。左辺は、 $
(cx-a^2)^2 = c^2x^2-2a^2cx+a^4
$ (展開には $(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$ の公式を、$A=cx$、$B=a^2$ として使いました。)右辺は、 $
\left(a\sqrt{(x-c)^2+y^2}\right)^2 = a^2\left((x-c)^2+y^2\right)
$ $(x-c)^2=x^2-2cx+c^2$ を使って右辺を展開すると、 $
a^2\left(x^2-2cx+c^2+y^2\right) = a^2x^2-2a^2cx+a^2c^2+a^2y^2
$ したがって、 $
c^2x^2-2a^2cx+a^4 = a^2x^2-2a^2cx+a^2c^2+a^2y^2
$ 両辺に共通する $-2a^2cx$ を消すため、両辺に $2a^2cx$ を加えます。 $
c^2x^2+a^4 = a^2x^2+a^2c^2+a^2y^2
$ $x^2$ を含む項を左辺に集めるため両辺から $a^2x^2$ を、$y^2$ の項を右辺に残すため両辺から $a^2c^2$ を引きます。 $
c^2x^2-a^2x^2-a^2y^2 = a^2c^2-a^4
$ 左辺の$x^2$の項を $x^2$ でくくり、右辺は $a^2$ でくくります。 $
(c^2-a^2)x^2-a^2y^2 = a^2(c^2-a^2)
$ 仮定より $c>a>0$ なので $c^2>a^2$ であり、$c^2-a^2>0$ が成り立ちます。そこで、この正の値を $b^2$ とおきます。 $
b^2 = c^2-a^2 \quad (b>0)
$ これをステップ6の式に代入すると、 $
b^2x^2-a^2y^2 = a^2b^2
$ となります。両辺を $a^2b^2$($a>0$、$b>0$ より正の数)で割ります。 $
\frac{b^2x^2}{a^2b^2}-\frac{a^2y^2}{a^2b^2} = \frac{a^2b^2}{a^2b^2}
$ 左辺の分数をそれぞれ約分すると、 $
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} = 1
$ これで、双曲線の標準形の方程式が導かれました。 点$P$が$F'$に近い側にある場合、つまり $PF-PF'=2a$ の場合も確認しておきます。この場合の式は、 $
\sqrt{(x-c)^2+y^2} - \sqrt{(x+c)^2+y^2} = 2a
$ となり、ステップ1の式で $F$ と $F'$($x-c$ と $x+c$)の役割が入れかわっただけです。まったく同じ手順(移項して2乗する操作を2回繰り返す)で計算を進めると、$x$の1次の項の符号が最初から最後まで一貫して入れかわり続けるため、最終的に $x^2$ と $y^2$ の項の符号にはまったく影響を与えず、ステップ7とまったく同じ方程式 $
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} = 1
$ に到達します。つまり、$|PF-PF'|=2a$ を満たす点は、$F$に近い側であっても$F'$に近い側であっても、同じ1つの方程式を満たすということです(この方程式のグラフが、原点に関して対称な2つに分かれた曲線になることと対応しています)。 この証明の手順は、焦点までの距離の和が一定という条件から楕円の標準形 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ を導く証明と、ほとんど同じ計算の流れをたどっています。実際に見比べると、次の2点だけが異なっています。 この対比から分かるように、楕円と双曲線は、「2定点までの距離」という同じ材料から、「和が一定」か「差が一定」かという条件の違いだけによって生まれる、いわば表裏の関係にある曲線なのです。 この証明でも、楕円の場合と同じく、「根号を2つ含む扱いにくい条件式を、片方の根号だけを残す形に変形してから2乗し、これを2回繰り返すことで根号を完全に消す」という手順が中心的なテクニックです。差の形 $PF'-PF=2a$ から出発しても、和の形のときとまったく同じ計算パターン(移項・展開・整理)がそのまま通用することを確認できた点が重要です。2次曲線の標準形を導出する際には、このように「距離に関する幾何学的な条件を、座標の式に翻訳し、根号を消すまで辛抱強く計算する」という共通の手法が、放物線を含めたすべての2次曲線に通用します。証明
ステップ1:距離の条件を式に書く($F$に近い側の場合)
ステップ2:根号を1つだけ残す形に変形する
ステップ3:両辺を2乗する
ステップ4:式を整理して根号を1つだけの式にする
ステップ5:もう一度両辺を2乗する
ステップ6:式を整理する
ステップ7:$b^2=c^2-a^2$ を代入して標準形にする
ステップ8:もう一方の場合($F'$に近い側)も確認する
楕円の導出との対比
この証明のポイント