相加平均・相乗平均の不等式の証明

証明する内容

$a\geq0$、$b\geq0$のとき、次の不等式が成り立ちます。

$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$

左辺の$\dfrac{a+b}{2}$を$a,b$の相加平均(足して2で割った平均)、右辺の$\sqrt{ab}$を$a,b$の相乗平均(かけてルートをとった平均)と呼び、この不等式を相加平均・相乗平均の不等式(相加相乗平均の関係)といいます。また、等号(イコール)が成り立つのは、$a=b$のときに限られます。

この不等式は、直感的には「2つの正の数(または0)を足して2で割った平均は、かけてルートをとった平均以上になる」ということを意味しており、不等式の証明や、和が一定・積が一定の条件のもとで最大値・最小値を求める問題で非常によく使われます。

証明

ステップ1:実数の2乗が0以上であることを利用する準備

$a\geq0$、$b\geq0$なので、$\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$という実数が定まります($\sqrt{\ }$は0以上の数に対してのみ定義される記号です)。また、$(\sqrt a)^2=a$、$(\sqrt b)^2=b$、そして$\sqrt a\times\sqrt b=\sqrt{ab}$が成り立つことも、平方根の基本性質として使います。

証明の方針は、「$\sqrt a-\sqrt b$という実数を2乗すると、必ず0以上になる」という事実を出発点にすることです。どんな実数$t$についても$t^2\geq0$が成り立つので、$t=\sqrt a-\sqrt b$として、

$(\sqrt a-\sqrt b)^2 \geq 0 \quad \cdots ①$

が成り立ちます。

ステップ2:①を展開して不等式を導く

①の左辺を、乗法公式$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$を使って展開します。$x=\sqrt a$、$y=\sqrt b$として、

$(\sqrt a-\sqrt b)^2 = (\sqrt a)^2-2\times\sqrt a\times\sqrt b+(\sqrt b)^2$

ここで、$(\sqrt a)^2=a$、$(\sqrt b)^2=b$、$\sqrt a\times\sqrt b=\sqrt{ab}$を代入すると、

$(\sqrt a-\sqrt b)^2 = a-2\sqrt{ab}+b$

これを①に代入すると、

$a-2\sqrt{ab}+b \geq 0$

$-2\sqrt{ab}$を右辺に移項すると、

$a+b \geq 2\sqrt{ab} \quad \cdots ②$

②の両辺を$2$で割ります。$2$は正の数なので、不等号の向きは変わりません。

$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$

これで、相加平均・相乗平均の不等式が証明できました。

ステップ3:等号成立条件を求める

不等式の証明では、等号が成り立つのがどんなときかも必ず調べます。今回の証明では、①の不等式$(\sqrt a-\sqrt b)^2\geq0$でしか不等号を使っていないので、もとの不等式で等号が成り立つのは、①で等号が成り立つとき、すなわち、

$(\sqrt a-\sqrt b)^2 = 0$

のときに限られます。実数の2乗が$0$になるのは、その実数自身が$0$のときだけなので、

$\sqrt a-\sqrt b = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt a=\sqrt b$

平方根が等しいということは、もとの数も等しいということなので、

$a=b$

逆に、$a=b$のときに実際に等号が成り立つことも確認しておきます。$a=b$のとき、左辺は$\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{2a}{2}=a$、右辺は$\sqrt{ab}=\sqrt{a\times a}=\sqrt{a^2}=|a|=a$($a\geq0$より$|a|=a$)となり、たしかに両辺とも$a$で等しくなります。

以上より、$\dfrac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$が成り立ち、等号が成り立つのは$a=b$のとき、そしてそのときに限る、ということが証明できました。

ステップ4:応用例(最小値問題)

この不等式は、「和の形をした式の最小値」を求める問題に応用できます。$x>0$のとき、次の式の最小値を求めてみましょう。

$4x+\frac{9}{x}$

$4x>0$、$\dfrac{9}{x}>0$なので、相加平均・相乗平均の不等式を$a=4x$、$b=\dfrac{9}{x}$として使うことができます。

$\frac{4x+\dfrac{9}{x}}{2} \geq \sqrt{4x\times\frac{9}{x}}$

右辺の根号の中を計算すると、$4x\times\dfrac{9}{x}=36$($x$が約分されて消えます)なので、

$\frac{4x+\dfrac{9}{x}}{2} \geq \sqrt{36} = 6$

両辺を$2$倍すると、

$4x+\frac{9}{x} \geq 12$

等号が成り立つのは$4x=\dfrac{9}{x}$のときです。両辺に$x$($>0$)を掛けると$4x^2=9$、すなわち$x^2=\dfrac94$となり、$x>0$より$x=\dfrac32$です。

したがって、$4x+\dfrac9x$は$x=\dfrac32$のとき最小値$12$をとります。

このように、$a\times b$の部分が$x$を含まない定数になるように$a,b$をうまく選ぶ(この例では$4x\times\dfrac9x=36$のように、$x$が約分されて消えるように選ぶ)のが、最小値問題に応用するときのコツです。

この証明のポイント

この証明は、「実数の2乗は0以上である」というごく基本的な事実(完全平方の非負性)から出発し、平方根の性質を使って式を整理するだけで、有名な不等式を導いています。不等式の証明では、このように「(示したい式の左辺)$-$(右辺)を計算して、それが完全平方の形に変形できないか」を試すのが基本方針であり、この相加相乗平均の不等式は、その代表的な成功例といえます。また、応用例で見たように、この不等式は「積が一定になるように2つの項をおく」ことで、和の最小値を求める問題に威力を発揮します。