公式の証明・導出
積和・和積の公式の証明
関連単元: 数学II 三角関数
証明する内容
三角関数の加法定理から出発して、次の2種類の公式を導きます。
積和の公式(積を和・差に直す)
$\sin A\cos B = \frac12\{\sin(A+B)+\sin(A-B)\}$
$\cos A\sin B = \frac12\{\sin(A+B)-\sin(A-B)\}$
$\cos A\cos B = \frac12\{\cos(A+B)+\cos(A-B)\}$
$\sin A\sin B = -\frac12\{\cos(A+B)-\cos(A-B)\}$
和積の公式(和・差を積に直す)
$\sin X+\sin Y = 2\sin\frac{X+Y}{2}\cos\frac{X-Y}{2}$
$\sin X-\sin Y = 2\cos\frac{X+Y}{2}\sin\frac{X-Y}{2}$
$\cos X+\cos Y = 2\cos\frac{X+Y}{2}\cos\frac{X-Y}{2}$
$\cos X-\cos Y = -2\sin\frac{X+Y}{2}\sin\frac{X-Y}{2}$
これらは、三角関数の積分の計算(積のままでは積分しにくい式を、和や差の形に直してから積分する)などで活躍する公式です。公式の数は多いですが、暗記に頼らなくても、加法定理さえ覚えていればいつでも導出できることを、この証明で確認します。
証明
ステップ1:加法定理を4つ並べる
出発点として、正弦・余弦の加法定理を4つ並べます。
$\sin(A+B) = \sin A\cos B+\cos A\sin B \quad \cdots ①$
$\sin(A-B) = \sin A\cos B-\cos A\sin B \quad \cdots ②$
$\cos(A+B) = \cos A\cos B-\sin A\sin B \quad \cdots ③$
$\cos(A-B) = \cos A\cos B+\sin A\sin B \quad \cdots ④$
これらはすべて、加法定理として既に証明されている事実です。この4つの式を、足したり引いたりするだけで、積和の公式が得られます。
ステップ2:①+②から sinAcosB の公式を導く
①と②の両辺どうしをそれぞれ足します。右辺では、$\cos A\sin B$の項が$+\cos A\sin B$と$-\cos A\sin B$になっていて、足すと打ち消し合います。
$\sin(A+B)+\sin(A-B) = (\sin A\cos B+\cos A\sin B)+(\sin A\cos B-\cos A\sin B) = 2\sin A\cos B$
両辺を$2$で割ると、
$\sin A\cos B = \frac12\{\sin(A+B)+\sin(A-B)\} \quad \cdots ⑤$
ステップ3:①-②から cosAsinB の公式を導く
今度は①から②を引きます。右辺では、$\sin A\cos B$の項が打ち消し合います。
$\sin(A+B)-\sin(A-B) = (\sin A\cos B+\cos A\sin B)-(\sin A\cos B-\cos A\sin B) = 2\cos A\sin B$
両辺を$2$で割ると、
$\cos A\sin B = \frac12\{\sin(A+B)-\sin(A-B)\} \quad \cdots ⑥$
ステップ4:③+④から cosAcosB の公式を導く
③と④を足します。右辺では、$-\sin A\sin B$と$+\sin A\sin B$が打ち消し合います。
$\cos(A+B)+\cos(A-B) = (\cos A\cos B-\sin A\sin B)+(\cos A\cos B+\sin A\sin B) = 2\cos A\cos B$
両辺を$2$で割ると、
$\cos A\cos B = \frac12\{\cos(A+B)+\cos(A-B)\} \quad \cdots ⑦$
ステップ5:④-③から sinAsinB の公式を導く
④から③を引きます。右辺では、$\cos A\cos B$どうしが打ち消し合います。
$\cos(A-B)-\cos(A+B) = (\cos A\cos B+\sin A\sin B)-(\cos A\cos B-\sin A\sin B) = 2\sin A\sin B$
両辺を$2$で割ると、
$\sin A\sin B = \frac12\{\cos(A-B)-\cos(A+B)\}$
右辺の順序を入れ替えて$-\dfrac12\{\cos(A+B)-\cos(A-B)\}$と書き直すと、
$\sin A\sin B = -\frac12\{\cos(A+B)-\cos(A-B)\} \quad \cdots ⑧$
以上、⑤⑥⑦⑧の4つが積和の公式です。加法定理を足し引きするだけで、すべて導けることが確認できました。
ステップ6:X=A+B, Y=A-Bと置き換える
次に、積和の公式を逆向きに使って、和積の公式を導きます。
$X = A+B, \qquad Y = A-B$
とおきます。この2つの式を、$A,B$について解き直します。$X+Y=(A+B)+(A-B)=2A$より、
$A = \frac{X+Y}{2}$
また、$X-Y=(A+B)-(A-B)=2B$より、
$B = \frac{X-Y}{2}$
これで、$A,B$を$X,Y$の式で表すことができました。
ステップ7:積和の公式に代入して和積の公式を得る
ステップ6の置き換えを、⑤の積和の公式$\sin A\cos B=\dfrac12\{\sin(A+B)+\sin(A-B)\}$に代入します。$A+B=X$、$A-B=Y$、$A=\dfrac{X+Y}{2}$、$B=\dfrac{X-Y}{2}$を代入すると、
$\sin\frac{X+Y}{2}\cos\frac{X-Y}{2} = \frac12(\sin X+\sin Y)$
両辺を$2$倍すると、
$\sin X+\sin Y = 2\sin\frac{X+Y}{2}\cos\frac{X-Y}{2}$
これで、和積の公式の1つ目が得られました。同じ置き換えを、⑥⑦⑧の残り3つの積和の公式にも適用すると、次のようになります。
⑥から($\cos A\sin B=\frac12\{\sin(A+B)-\sin(A-B)\}$より):
$\cos\frac{X+Y}{2}\sin\frac{X-Y}{2} = \frac12(\sin X-\sin Y) \quad\Longrightarrow\quad \sin X-\sin Y = 2\cos\frac{X+Y}{2}\sin\frac{X-Y}{2}$
⑦から($\cos A\cos B=\frac12\{\cos(A+B)+\cos(A-B)\}$より):
$\cos\frac{X+Y}{2}\cos\frac{X-Y}{2} = \frac12(\cos X+\cos Y) \quad\Longrightarrow\quad \cos X+\cos Y = 2\cos\frac{X+Y}{2}\cos\frac{X-Y}{2}$
⑧から($\sin A\sin B=-\frac12\{\cos(A+B)-\cos(A-B)\}$より):
$-\sin\frac{X+Y}{2}\sin\frac{X-Y}{2} = -\frac12(\cos X-\cos Y) \quad\Longrightarrow\quad \cos X-\cos Y = -2\sin\frac{X+Y}{2}\sin\frac{X-Y}{2}$
以上4つが和積の公式です。積和の公式のときと同じく、それぞれの式を$2$倍して整理しただけで得られています。
ステップ8:検算
具体的な角度で、積和の公式と和積の公式を1つずつ確認します。
積和の公式($A=60°$、$B=30°$):左辺は$\sin60°\cos30°=\dfrac{\sqrt3}{2}\times\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac34$。右辺は$\dfrac12\{\sin90°+\sin30°\}=\dfrac12\left(1+\dfrac12\right)=\dfrac12\times\dfrac32=\dfrac34$。両辺一致。
和積の公式($X=90°$、$Y=30°$):左辺は$\sin90°+\sin30°=1+\dfrac12=\dfrac32$。右辺は$2\sin60°\cos30°=2\times\dfrac{\sqrt3}{2}\times\dfrac{\sqrt3}{2}=2\times\dfrac34=\dfrac32$。両辺一致。
この証明のポイント
積和・和積の公式は数が多く、丸暗記しようとすると混乱しやすい公式ですが、この証明で見たように、根っこにあるのは加法定理のたった4つの式だけです。「複数の式を足したり引いたりすると、都合の悪い項が打ち消し合う」という考え方(この証明では$\cos A\sin B$や$\sin A\sin B$などの項を消すために使いました)は、連立方程式を解くときの加減法と同じ発想であり、三角関数に限らず、複数の関係式から新しい関係式を作り出すときの基本テクニックです。試験本番で公式を忘れてしまっても、加法定理さえ覚えていれば、この手順でその場で導き出せることを覚えておきましょう。