剰余の定理の証明

証明する内容

$P(x)$を整式(多項式)とし、$a$を定数とします。このとき、次のことが成り立ちます。

剰余の定理:整式$P(x)$を1次式$x-a$で割ったときの余りは、$P(a)$に等しい。

式で書くと、$P(x)$を$x-a$で割ったときの商を$Q(x)$、余りを$R$とすると、

$P(x) = (x-a)Q(x)+R$

という関係が成り立ち、この$R$が実は

$R = P(a)$

に等しくなる、というのがこの定理の主張です。直感的には、「整式を1次式$x-a$で実際に割り算しなくても、$P(x)$に$x=a$を代入した値を計算するだけで、余りが分かってしまう」という、とても便利な事実です。

証明

ステップ1:整式の除法の原理を確認する

整式の除法について、次の事実が成り立つのでした(除法の原理)。整式$A$を、$0$でない整式$B$で割るとき、

$A = BQ+R$

を満たす整式$Q$(商)と整式$R$(余り)が、ただ1組だけ存在します。ここで、$R$の次数は$B$の次数より小さくなります(または$R=0$になります)。

この証明では、$A=P(x)$、$B=x-a$として、この原理を使います。$B=x-a$の次数は$1$なので、余り$R$の次数は$1$より小さくなければなりません。次数が$1$より小さい整式は、文字$x$を含まない定数だけです。したがって、$R$は定数になります(この定数を、改めて$R$という文字で表すことにします)。

以上より、整式$P(x)$を$x-a$で割ったときの商を$Q(x)$、余りを定数$R$とすると、次の等式が成り立ちます。

$P(x) = (x-a)Q(x)+R \quad \cdots ①$

ステップ2:恒等式にx=aを代入する

①の等式は、除法の原理から得られた関係式であり、$x$にどんな値を代入しても成り立つ恒等式です。そこで、都合の良い値として$x=a$を代入してみます。

$P(a) = (a-a)Q(a)+R$

$a-a=0$なので、右辺の第1項は、$Q(a)$がどんな値であっても、

$(a-a)Q(a) = 0\times Q(a) = 0$

となります。したがって、

$P(a) = 0+R = R$

すなわち、

$R = P(a)$

が得られました。これで、「$P(x)$を$x-a$で割った余り$R$は、$P(a)$に等しい」という剰余の定理が証明できました。

ステップ3:割る式がax+bの場合への拡張

割る式が$x-a$のように$x$の係数が$1$の1次式でなく、$ax+b$($a\neq0$)のような一般の1次式である場合にも、同じ結論が成り立つことを確認しておきます。

$P(x)$を$ax+b$で割ったときの商を$Q_1(x)$、余りを$R_1$とすると、除法の原理より、

$P(x) = (ax+b)Q_1(x)+R_1 \quad \cdots ②$

ここで、$ax+b$は次のように変形できます。

$ax+b = a\left(x+\frac{b}{a}\right) = a\left(x-\left(-\frac{b}{a}\right)\right)$

これを②に代入すると、

$P(x) = a\left(x-\left(-\frac{b}{a}\right)\right)Q_1(x)+R_1 = \left(x-\left(-\frac{b}{a}\right)\right)\times aQ_1(x)+R_1$

この式は、ステップ1の①式で$a$を$-\dfrac{b}{a}$に、$Q(x)$を$aQ_1(x)$に置き換えたものと、まったく同じ形をしています。したがって、ステップ2と同じ議論がそのまま使えて、

$R_1 = P\left(-\frac{b}{a}\right)$

が成り立ちます。$-\dfrac{b}{a}$は、方程式$ax+b=0$の解であることに注意すると、「$P(x)$を$ax+b$で割った余りは、$ax+b=0$の解を$P(x)$に代入した値に等しい」という、より一般的な形の剰余の定理が得られました。

ステップ4:検算

具体例で確認します。$P(x)=2x^3-5x^2+4x-1$を$x-2$で割ったときの余りを、2通りの方法で求めてみます。

剰余の定理を使う方法:

$P(2) = 2\times2^3-5\times2^2+4\times2-1 = 2\times8-5\times4+8-1 = 16-20+8-1 = 3$

実際に割り算をする方法:筆算で$2x^3-5x^2+4x-1$を$x-2$で割ると、商は$2x^2-x+2$、余りは$3$になります(検算:$(x-2)(2x^2-x+2)+3 = 2x^3-x^2+2x-4x^2+2x-4+3 = 2x^3-5x^2+4x-1$となり、もとの式と一致します)。

どちらの方法でも余りは$3$となり、一致しています。

続けて、ステップ3で示した拡張版も確認します。$P(x)=x^3-1$を$2x-1$で割った余りを求めます。$2x-1=0$の解は$x=\dfrac12$なので、拡張版の剰余の定理より、余りは

$P\left(\frac12\right) = \left(\frac12\right)^3-1 = \frac18-1 = -\frac78$

のはずです。実際に割り算を実行しても、商は$\dfrac12x^2+\dfrac14x+\dfrac18$、余りは$-\dfrac78$となり(検算は省略しますが、$(2x-1)\left(\dfrac12x^2+\dfrac14x+\dfrac18\right)+\left(-\dfrac78\right)$を展開すると$x^3-1$に一致します)、一致することが確認できます。

この証明のポイント

この証明の核心は、「$P(x)=(x-a)Q(x)+R$という、$x$についての恒等式に、都合の良い値($x=a$)を代入する」という、非常にシンプルな一手です。$x=a$を選ぶことで、商$Q(x)$を含む項が$(a-a)=0$倍されて消えてしまい、知りたい余り$R$だけが取り出せる、という仕組みになっています。この「恒等式に特別な値を代入して、余計な項を消す」という発想は、この後に学ぶ因数定理をはじめ、整式に関するさまざまな問題を解くうえで基本となる考え方です。