放物線の定義と方程式の導出

証明する内容

平面上に、1つの点 $F(p,0)$($p\neq0$、これを焦点と呼びます)と、$F$ を通らない1本の直線 $\ell: x=-p$(これを準線と呼びます)を定めます。このとき、

$ PF = (\text{点} P \text{から直線} \ell \text{までの距離}) $

を満たす点 $P$ 全体が描く図形を放物線と呼びます。「焦点までの距離」と「準線までの距離」が常に等しい、という条件だけで定まる図形です。

この定義から出発して、この放物線が、座標 $(x,y)$ に関する方程式

$ y^2 = 4px $

を満たすことを示します。これが、放物線の標準形と呼ばれる方程式です。

証明

ステップ1:「準線までの距離」を、座標を使った式で表す

点 $P$ の座標を $(x,y)$ とします。まず、$P$ から直線 $\ell:x=-p$ までの距離を求めます。

直線 $\ell$ は、$y$軸に平行な縦の直線($x=-p$)です。点 $P(x,y)$ から、この縦の直線に下ろした垂線の足(直線上の最も近い点)は、$y$座標はそのままで$x$座標だけを $-p$ にした点 $(-p,\ y)$ になります。したがって、$P$ から $\ell$ までの距離は、2点 $P(x,y)$ と $(-p,y)$ の間の距離として、

$ (\text{Pから}\ell\text{までの距離}) = \sqrt{\bigl(x-(-p)\bigr)^2+(y-y)^2} = \sqrt{(x+p)^2} = |x+p| $

と計算できます(最後の等号は、$\sqrt{A^2}=|A|$ という、根号と絶対値の関係を使いました)。

ステップ2:「焦点までの距離」を、座標を使った式で表す

同じく、点 $P(x,y)$ から焦点 $F(p,0)$ までの距離は、2点間の距離の公式(三平方の定理)より、

$ PF = \sqrt{(x-p)^2+y^2} $

です。

ステップ3:定義の等式を、座標の式に置きかえる

放物線の定義である「$PF=(P\text{から}\ell\text{までの距離})$」に、ステップ1・ステップ2で求めた式を代入します。

$ \sqrt{(x-p)^2+y^2} = |x+p| $

ステップ4:両辺を2乗する

この等式の両辺は、どちらも「距離」または「絶対値」であり、必ず $0$以上の値です。$0$以上の2つの数が等しいことと、それぞれを2乗した数が等しいことは同値である($A\geq0$、$B\geq0$ のとき、$A=B \iff A^2=B^2$)ので、両辺を2乗しても、もとの等式と完全に同じ意味の式が得られます。

$ \left(\sqrt{(x-p)^2+y^2}\right)^2 = \left(|x+p|\right)^2 $

左辺は根号が外れて $(x-p)^2+y^2$ になり、右辺は絶対値の2乗がもとの数の2乗に等しくなる($|A|^2=A^2$)ことから $(x+p)^2$ になります。

$ (x-p)^2+y^2 = (x+p)^2 $

ステップ5:両辺を展開して整理する

左辺の $(x-p)^2$ と、右辺の $(x+p)^2$ を、それぞれ展開します。

$ (x-p)^2 = x^2-2px+p^2, \qquad (x+p)^2 = x^2+2px+p^2 $

これらを代入すると、

$ x^2-2px+p^2+y^2 = x^2+2px+p^2 $

両辺に共通する $x^2+p^2$ を引きます。

$ -2px+y^2 = 2px $

左辺の $-2px$ を右辺に移項します。

$ y^2 = 2px+2px $

右辺をまとめます。

$ y^2 = 4px $

これで、放物線の標準形の方程式

$ y^2 = 4px $

が導かれました。

ステップ6:縦に開く場合の標準形も確認する

焦点が $y$軸上の点 $F(0,p)$、準線が $y=-p$ である(縦向きに開く)場合も、$x$と$y$の役割を入れかえるだけで、まったく同じ手順が使えます。点$P(x,y)$から焦点$(0,p)$までの距離は $\sqrt{x^2+(y-p)^2}$、準線 $y=-p$ までの距離は $|y+p|$ なので、定義の式は、

$ \sqrt{x^2+(y-p)^2} = |y+p| $

となり、ステップ4~5とまったく同じ計算($x$と$y$を入れかえただけの計算)を行うと、

$ x^2 = 4py $

が得られます。

この証明のポイント

この証明で使った手順は、ステップ4で両辺を2乗する操作を、たった1回だけ行えば根号(および絶対値)がすべて消え、あとは展開して整理するだけで標準形にたどり着く、という点で、比較的シンプルな部類に入ります(楕円や双曲線の標準形を導く証明では、根号が2つ登場するため、2乗の操作を2回繰り返す必要がありました)。これは、放物線の定義に登場する「距離」がPFと準線までの距離の2つだけで、しかも最初から「等しい」という関係になっているためです。また、ステップ4で「両辺とも$0$以上だから2乗しても同値関係が保たれる」という点を確認したことも重要です。この確認を怠ると、2乗の操作によって式の意味が変わってしまう(必要条件にしかならない)危険があるため、距離や絶対値を含む等式を2乗するときには、常にこの点を意識する習慣をつけましょう。