半角の公式の証明

証明する内容

角$\alpha$について、次の半角の公式が成り立ちます。

$\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos\alpha}{2}, \qquad \cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1+\cos\alpha}{2}$

これらは、角$\alpha$の値(正確には$\cos\alpha$の値)が分かっているときに、その半分の角$\dfrac{\alpha}{2}$についての$\sin,\cos$の2乗の値を求めるための公式です。この証明では、2倍角の公式

$\cos2\theta = 1-2\sin^2\theta, \qquad \cos2\theta = 2\cos^2\theta-1$

を出発点として、角の文字の置き換えだけで半角の公式が得られることを示します。

証明

ステップ1:2倍角の公式を確認する

まず、出発点となる2倍角の公式が、加法定理からどう得られるかを簡単に振り返っておきます。余弦の加法定理$\cos(\theta+\theta)=\cos\theta\cos\theta-\sin\theta\sin\theta$より、

$\cos2\theta = \cos^2\theta-\sin^2\theta$

ここに、三角関数の基本関係式$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$から得られる$\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$を代入すると、

$\cos2\theta = (1-\sin^2\theta)-\sin^2\theta = 1-2\sin^2\theta \quad \cdots ①$

同様に、$\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$を代入すると、

$\cos2\theta = \cos^2\theta-(1-\cos^2\theta) = 2\cos^2\theta-1 \quad \cdots ②$

①、②が、これから使う2倍角の公式です。この2式は、$\theta$がどんな角であっても成り立つ恒等式であることに注意してください。

ステップ2:θ=α/2 を代入する

①、②の$\theta$に、$\theta=\dfrac{\alpha}{2}$という角を代入します。これは、「$2$倍すると$\alpha$になる角」を$\theta$として選んだ、ということです。実際、$\theta=\dfrac{\alpha}{2}$のとき$2\theta=\alpha$となるので、①は、

$\cos\alpha = 1-2\sin^2\frac{\alpha}{2} \quad \cdots ①'$

同じく②は、

$\cos\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2}-1 \quad \cdots ②'$

となります。①、②は$\theta$についての恒等式だったので、$\theta$にどんな値(角)を代入しても成り立ちます。したがって、①'、②'も、$\alpha$がどんな角であっても成り立つ式です。

ステップ3:①'をsin²(α/2)について解く

①'の式

$\cos\alpha = 1-2\sin^2\frac{\alpha}{2}$

を、$\sin^2\dfrac{\alpha}{2}$について解きます。$-2\sin^2\dfrac{\alpha}{2}$を左辺に、$\cos\alpha$を右辺に移項すると、

$2\sin^2\frac{\alpha}{2} = 1-\cos\alpha$

両辺を$2$で割ると、

$\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos\alpha}{2}$

これで、半角の公式の1つ目が証明できました。

ステップ4:②'をcos²(α/2)について解く

同じように、②'の式

$\cos\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2}-1$

を、$\cos^2\dfrac{\alpha}{2}$について解きます。$-1$を左辺に移項すると、

$2\cos^2\frac{\alpha}{2} = 1+\cos\alpha$

両辺を$2$で割ると、

$\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1+\cos\alpha}{2}$

これで、半角の公式の2つ目も証明できました。

ステップ5:tan²(α/2)も導いておく

ステップ3、4で得られた2式の比をとると、正接の半角の公式も導けます。$\cos\dfrac{\alpha}{2}\neq0$のとき、

$\tan^2\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin^2\dfrac{\alpha}{2}}{\cos^2\dfrac{\alpha}{2}} = \frac{\dfrac{1-\cos\alpha}{2}}{\dfrac{1+\cos\alpha}{2}} = \frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}$

分母・分子にある$\dfrac12$が約分されて消え、きれいな形になりました。

ステップ6:検算(数値例で確かめる)

$0<\alpha<\pi$で$\cos\alpha=-\dfrac{7}{25}$の場合について、半角の公式を使って$\sin\dfrac{\alpha}{2}$、$\cos\dfrac{\alpha}{2}$、$\tan\dfrac{\alpha}{2}$を求め、整合性を確認します。

$0<\alpha<\pi$より$0<\dfrac{\alpha}{2}<\dfrac{\pi}{2}$なので、$\dfrac{\alpha}{2}$は第1象限の角であり、$\sin\dfrac{\alpha}{2}>0$、$\cos\dfrac{\alpha}{2}>0$です。

$\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1-\left(-\dfrac{7}{25}\right)}{2} = \frac{\dfrac{32}{25}}{2} = \frac{16}{25} \quad\Longrightarrow\quad \sin\frac{\alpha}{2} = \frac45$

$\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1+\left(-\dfrac{7}{25}\right)}{2} = \frac{\dfrac{18}{25}}{2} = \frac{9}{25} \quad\Longrightarrow\quad \cos\frac{\alpha}{2} = \frac35$

検算1:$\sin^2\dfrac{\alpha}{2}+\cos^2\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{16}{25}+\dfrac9{25}=\dfrac{25}{25}=1$となり、三角関数の基本関係式と一致します。

検算2:ステップ5の式から$\tan^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1-\left(-\frac{7}{25}\right)}{1+\left(-\frac{7}{25}\right)}=\dfrac{32/25}{18/25}=\dfrac{32}{18}=\dfrac{16}{9}$なので$\tan\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac43$。一方、$\dfrac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}=\dfrac{4/5}{3/5}=\dfrac43$となり、こちらも一致します。

この証明のポイント

半角の公式は、名前だけを見ると2倍角の公式とは別物のように感じられますが、この証明で見たように、実質的には2倍角の公式に含まれる文字$\theta$を$\dfrac{\alpha}{2}$と置き換え、式を整理し直しただけのものです。「同じ1つの恒等式でも、代入する文字の値(や式)を変えることで、別の見た目の公式が得られる」という発想は、数学のさまざまな場面で公式を導出・記憶する際の助けになります。なお、半角の公式で分かるのはあくまで$\sin^2\dfrac{\alpha}{2}$、$\cos^2\dfrac{\alpha}{2}$という2乗の値であり、$\sin\dfrac{\alpha}{2}$、$\cos\dfrac{\alpha}{2}$自体の符号は、$\dfrac{\alpha}{2}$がどの象限にあるかを別途調べて決める必要がある点に注意しましょう。