公式の証明・導出
円と直線が接する条件(判別式)の証明
関連単元: 数学II 図形と方程式
証明する内容
中心$(p,q)$、半径$r$($r>0$)の円
$(x-p)^2+(y-q)^2=r^2$
と、直線$\ell$を考えます。円と直線の位置関係には、「2点で交わる」「接する(共有点が1個)」「共有点をもたない」の3パターンがあり、これを調べる方法には次の2通りがあります。
- 方法1(判別式):円の方程式に直線の方程式を代入して得られる$x$(または$y$)についての2次方程式の判別式を$D$とする。
- 方法2(距離):円の中心と直線との距離を$d$とし、半径$r$と比較する。
この2つの方法はそれぞれ独立に使われることが多いのですが、実は次のように、完全に同じ内容を表しています。
$D=0 \iff d=r \qquad(\text{円と直線が接する})$
さらに、$D>0 \iff d
証明
ステップ1:直線の式を円の式に代入する
まず、直線が垂直でない場合、つまり$\ell: y=mx+n$と表せる場合を考えます(垂直な直線の場合はステップ5で別に扱います)。これを円の式に代入します。
$(x-p)^2+(mx+n-q)^2=r^2$
計算をしやすくするため、$s=n-q$とおきます($s$は定数で、$mx+n-q=mx+s$と書けます)。$(x-p)^2$と$(mx+s)^2$をそれぞれ展開します。
$(x-p)^2 = x^2-2px+p^2, \qquad (mx+s)^2 = m^2x^2+2msx+s^2$
これらを足して$r^2$を左辺に移項すると、
$x^2-2px+p^2+m^2x^2+2msx+s^2-r^2=0$
$x$について整理します。
$(1+m^2)x^2+2(ms-p)x+(p^2+s^2-r^2)=0 \quad \cdots ①$
これが、円と直線を連立させて得られる2次方程式です($1+m^2$は$m$がどんな実数でも必ず正の数なので、①は確かに2次方程式になります)。
ステップ2:判別式Dを計算する
①の2次方程式について、$A=1+m^2$、$B=2(ms-p)$、$C=p^2+s^2-r^2$として、判別式$D=B^2-4AC$を計算します。
$B^2 = 4(ms-p)^2 = 4(m^2s^2-2msp+p^2)$
$4AC = 4(1+m^2)(p^2+s^2-r^2) = 4(p^2+s^2-r^2)+4m^2(p^2+s^2-r^2)$
$= 4p^2+4s^2-4r^2+4m^2p^2+4m^2s^2-4m^2r^2$
$D=B^2-4AC$を計算すると、
$D = (4m^2s^2-8msp+4p^2)-(4p^2+4s^2-4r^2+4m^2p^2+4m^2s^2-4m^2r^2)$
$4m^2s^2$どうし、$4p^2$どうしが打ち消し合うので、
$D = -8msp-4s^2+4r^2-4m^2p^2+4m^2r^2$
$4r^2$を含む項をまとめ、残りを整理します。
$D = 4r^2(1+m^2) - (4m^2p^2+8msp+4s^2)$
かっこの中は、$4(m^2p^2+2msp+s^2)=4(mp+s)^2$と因数分解できます(乗法公式$(X+Y)^2=X^2+2XY+Y^2$で$X=mp$、$Y=s$とした形です)。したがって、
$D = 4r^2(1+m^2)-4(mp+s)^2 = 4\bigl[r^2(1+m^2)-(mp+s)^2\bigr] \quad \cdots ②$
という、$D$を表す式が得られました。
ステップ3:中心と直線の距離dを計算する
次に、点と直線の距離の公式を使って、中心$(p,q)$と直線$\ell$との距離$d$を求めます。直線$y=mx+n$を$ax+by+c=0$の形に書き直すと、$mx-y+n=0$となるので、$a=m$、$b=-1$、$c=n$です。点と直線の距離の公式
$d = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
に、$(x_0,y_0)=(p,q)$を代入すると、
$d = \frac{|mp-q+n|}{\sqrt{m^2+1}} = \frac{|mp+(n-q)|}{\sqrt{m^2+1}} = \frac{|mp+s|}{\sqrt{1+m^2}}$
(最後の変形で、ステップ1でおいた$s=n-q$を使いました。)両辺を2乗すると、
$d^2 = \frac{(mp+s)^2}{1+m^2}$
すなわち、
$(mp+s)^2 = d^2(1+m^2) \quad \cdots ③$
ステップ4:DとdとRの関係をまとめる
②に③を代入します。
$D = 4\bigl[r^2(1+m^2)-d^2(1+m^2)\bigr] = 4(1+m^2)(r^2-d^2)$
さらに、$r^2-d^2=(r-d)(r+d)$と因数分解できるので、
$D = 4(1+m^2)(r-d)(r+d) \quad \cdots ④$
という、判別式$D$と、半径$r$・距離$d$の関係を表す等式が得られました。
ここで、$1+m^2$は($m$が実数である限り)常に正の数であり、$r+d$も、$r>0$(半径は正)、$d\geq0$(距離は0以上)より常に正の数です。したがって、④の右辺の符号は、残りの因数$(r-d)$の符号だけで決まります。つまり、
$D\text{の符号} = (r-d)\text{の符号}$
が常に成り立ちます。よって、
- $D=0 \iff r-d=0 \iff d=r$(接する)
- $D>0 \iff r-d>0 \iff d
- $D<0 \iff r-d<0 \iff d>r$(共有点をもたない)
がすべて成り立ちます。特に、$D=0$と$d=r$が同値であることが証明できました。
ステップ5:直線が垂直な場合
直線が$x=k$(垂直な直線、$y=mx+n$の形では表せない場合)のときも、同じ結論が成り立つことを確認しておきます。円の式に$x=k$を代入すると、
$(k-p)^2+(y-q)^2=r^2$
これを$y$について整理すると、
$y^2-2qy+\bigl\{q^2+(k-p)^2-r^2\bigr\}=0$
$A=1$、$B=-2q$、$C=q^2+(k-p)^2-r^2$として、判別式を計算すると、
$D=B^2-4AC = 4q^2-4\bigl\{q^2+(k-p)^2-r^2\bigr\} = 4\bigl\{r^2-(k-p)^2\bigr\}$
一方、中心$(p,q)$と直線$x=k$との距離は、$x$座標の差の絶対値である$d=|k-p|$なので、$(k-p)^2=d^2$です。したがって、
$D = 4(r^2-d^2) = 4(r-d)(r+d)$
となり、係数の$1+m^2$が$1$に置き換わっただけで、ステップ4とまったく同じ形の関係式が得られます。よって、垂直な直線の場合も$D=0\iff d=r$が成り立ちます。
ステップ6:検算
具体例で確認します。円$x^2+y^2=8$($p=0,q=0,r^2=8$)と、直線$y=x+k$($m=1,n=k$)が接するときの$k$を、両方の方法で求めてみます。
判別式を使う方法:$s=n-q=k$なので、②の式に代入すると、
$D = 4\bigl[r^2(1+m^2)-(mp+s)^2\bigr] = 4[8\times2-k^2] = 4(16-k^2)$
$D=0$とすると$k^2=16$、すなわち$k=\pm4$。
距離を使う方法:$d=\dfrac{|mp+s|}{\sqrt{1+m^2}}=\dfrac{|0+k|}{\sqrt2}=\dfrac{|k|}{\sqrt2}$。$d=r=\sqrt8=2\sqrt2$とすると、$\dfrac{|k|}{\sqrt2}=2\sqrt2$より$|k|=2\sqrt2\times\sqrt2=4$、すなわち$k=\pm4$。
両方の方法で$k=\pm4$と、同じ答えが得られました。これは、前のトピック「円と直線」の例題2で実際に確かめた結果とも一致しています。
この証明のポイント
この証明でもっとも重要なのは、④で得られた等式$D=4(1+m^2)(r-d)(r+d)$です。この式は、「判別式$D$」と「半径と距離の差$(r-d)$」が、常に同じ符号をもつ($1+m^2>0$、$r+d>0$は符号に影響しないため)ことを示しています。つまり、判別式を使う方法と距離を使う方法は、まったく別々の考え方に見えて、実は同じ量を2通りの式で測っているにすぎない、ということがこの計算によって明らかになります。交点の座標まで必要なときは判別式(方法1)を、位置関係の判定だけで十分なときは距離(方法2)を、というように使い分けられるのも、この2つが本質的に同じ内容を表しているからです。