母平均の信頼区間(推定式)の導出

証明する内容

母平均 $m$、母標準偏差 $\sigma$ の母集団から、大きさ $n$ の標本を無作為に抽出し、その標本平均を $\overline{X}$ とします。標本の大きさ $n$ が十分大きいとき、中心極限定理により、$\overline{X}$ は近似的に正規分布

$ N\left(m,\ \frac{\sigma^2}{n}\right) $

に従うことがすでに分かっています。

この事実だけを出発点として、母平均 $m$ に対する信頼度95%の信頼区間の公式

$ \overline{X}-1.96\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ \leq \ m \ \leq \ \overline{X}+1.96\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} $

を導出します。この式は、「標本平均 $\overline{X}$ から、$1.96\times\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ だけ離れた範囲の中に、分からない母平均 $m$ がおよそ$95\%$の確率で含まれる」ということを主張しています。

証明

ステップ1:$\overline{X}$ を標準化する

$\overline{X}$ が近似的に正規分布 $N\left(m,\dfrac{\sigma^2}{n}\right)$ に従うとき、この分布の標準偏差は $\sqrt{\dfrac{\sigma^2}{n}}=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ です。正規分布に従う確率変数は、(値$-$平均)$\div$(標準偏差)という標準化の操作を行うと、必ず標準正規分布 $N(0,1)$ に従うようになるという性質がありました。この性質を $\overline{X}$ に適用すると、

$ Z = \frac{\overline{X}-m}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}} $

という確率変数 $Z$ は、近似的に標準正規分布 $N(0,1)$ に従います。

ステップ2:標準正規分布で、確率$0.95$に対応する範囲を求める

標準正規分布 $N(0,1)$ において、$0$から$z$までの範囲に入る確率 $P(0\leq Z\leq z)$ をまとめた正規分布表には、次の値があります。

$ P(0\leq Z\leq1.96) = 0.4750 $

標準正規分布のグラフは $Z=0$ を中心に左右対称なので、$-1.96$から$0$までの確率も、$0$から$1.96$までの確率とちょうど同じ $0.4750$ になります。

$ P(-1.96\leq Z\leq0) = P(0\leq Z\leq1.96) = 0.4750 $

この2つの範囲($-1.96$から$0$まで、と、$0$から$1.96$まで)を合わせると、$-1.96$から$1.96$までの範囲になります。したがって、

$ P(-1.96\leq Z\leq1.96) = P(-1.96\leq Z\leq0)+P(0\leq Z\leq1.96) = 0.4750+0.4750 = 0.95 $

以上より、標準正規分布に従う $Z$ については、次のことが成り立ちます。

$ P(-1.96\leq Z\leq1.96) = 0.95 \quad \cdots ① $

ステップ3:①の $Z$ に、ステップ1の標準化の式を代入する

①の $Z$ に、ステップ1で求めた $Z=\dfrac{\overline{X}-m}{\sigma/\sqrt{n}}$ を代入します。

$ P\left(-1.96 \ \leq \ \frac{\overline{X}-m}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}} \ \leq \ 1.96\right) = 0.95 \quad \cdots ② $

これで、確率$0.95$の主張が、$m$ を含む不等式の形で書けました。次に、この不等式のかっこの中身を、$m$ について解いていきます(不等式を $m\leq\cdots$ の形に変形していく作業です)。

ステップ4:各辺に $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ をかける

不等式 $-1.96\leq\dfrac{\overline{X}-m}{\sigma/\sqrt{n}}\leq1.96$ の各辺に、$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ をかけます。$\sigma>0$、$n>0$ なので $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}>0$ であり、正の数をかけても不等号の向きは変わりません。

$ -1.96\times\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ \leq \ \overline{X}-m \ \leq \ 1.96\times\frac{\sigma}{\sqrt{n}} $

ステップ5:各辺から $\overline{X}$ を引く

各辺から $\overline{X}$ を引きます。不等式の両辺(3つの辺すべて)から同じ数を引いても、不等号の向きは変わりません。

$ -\overline{X}-1.96\times\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ \leq \ -m \ \leq \ -\overline{X}+1.96\times\frac{\sigma}{\sqrt{n}} $

ステップ6:各辺に $-1$ をかけて、$-m$ を $m$ に直す

各辺に $-1$ をかけます。負の数をかけるので、不等号の向きがすべて反対になることに注意します。

$ \overline{X}+1.96\times\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ \geq \ m \ \geq \ \overline{X}-1.96\times\frac{\sigma}{\sqrt{n}} $

ステップ7:小さい方から大きい方の順に書き直す

ステップ6の不等式は、「大きい方 $\geq m \geq$ 小さい方」という順に書かれています。これを、通常の慣習にしたがって「小さい方 $\leq m \leq$ 大きい方」の順に書き直します(不等式の意味は変わりません。単に見た目の順序を左右入れ替えただけです)。

$ \overline{X}-1.96\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ \leq \ m \ \leq \ \overline{X}+1.96\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} $

②の確率がもともと $0.95$ であったことを思い出すと、この不等式についても、

$ P\left(\overline{X}-1.96\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ \leq \ m \ \leq \ \overline{X}+1.96\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = 0.95 $

が成り立ちます。これが、母平均 $m$ に対する信頼度95%の信頼区間の公式です。

ステップ8:この式の意味を確認する

この式で確率の対象になっているのは、$m$ ではなく $\overline{X}$ であることに注意してください。母平均 $m$ は、値は分からなくても、$1$つの決まった定数です。一方、標本平均 $\overline{X}$ は、標本を取り直すたびに値が変わる確率変数です。つまりこの式は、「標本を何度も取り直して、そのたびにこの公式で区間 $\left[\overline{X}-1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \overline{X}+1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]$ を作るという操作を繰り返すと、作られた区間のうちおよそ$95\%$が、実際に(分からないままの)母平均 $m$ を内部に含んでいる」ということを意味しています。実際に手元にある$1$つの標本から計算した区間が、本当に $m$ を含んでいるかどうかは、その都度は分かりません。

この証明のポイント

この証明の骨組みは、「正規分布に従う確率変数を標準化して、確率が分かっている標準正規分布の不等式に直し、その不等式を目的の文字($m$)について解く」という、標準化の考え方をフル活用したものです。特に、不等式を文字について解く際に、正の数をかけるときは向きが変わらず、負の数をかけるとき(ここでは $-1$ をかけるとき)は向きがすべて反転する、という不等式の基本ルールを丁寧に適用することが、正しい信頼区間を導くための鍵になります。同じ手順で、$P(-1.96\leq Z\leq1.96)=0.95$ の部分を $P(-2.58\leq Z\leq2.58)\approx0.99$ に置き換えれば、信頼度99%の信頼区間の公式も、まったく同じ手順でそのまま導くことができます。